二元函数的极限教学课件.ppt
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1、二元函数的极限,第一节,第八章,和连续性,一、多元函数的极限,二、多元函数的连续性,1、一元函数极限的定义,记号,复习:,2、一元函数连续的定义,一、二元函数的极限,定义. 设函数,时,相应的函数值无限趋于一个确定的常数A,当,记作:,的某空心邻域,内有定义,如果点,以任何方式无限趋于点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点P0,P0,则称 A 为,函数,时的极限.,(1),的路径是任意的;,(2),上面介绍的极限也称为二重极限;,(3) 一元函数的极限性质在这里亦成立,注意:,(4)用极限定义计算多元函数的极限及证,明极限的存在比较麻烦,不作要求。, 若当点,趋于不同值或有的极限不存在,
2、,解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,以不同方式趋于,不存在 .,例1. 讨论函数,函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在., 二重极限,不同.,如果它们都存在, 则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .,例3 目录 上页 下页 返回 结束,二、 二元函数的连续性,定义 . 设二元函数,如果函数在定义域 D 上各点处都连续, 则称此函数在,如果,否则称为不连续
3、,称为间断点 .,元函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,D上连续.,处连续,在点P0,邻域内有定义,且,的某,存在,则称二,在点P0,例如, 函数,在点(0 , 0) 极限不存在,又如, 函数,上间断.,故 ( 0, 0 )为其间断点.,在圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续.,定理:(1)若 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续, 则该函,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,(证明略),数是有界函数。,解: 原式,例2.求,例3. 求函数,的连续域.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 多元函数的极限,2. 多元函数的连续性,1) 函数,2) 闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函数在定义区域内连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,课外作业:,P165. 3,1. 证明,在全平面连续.,证:,为初等函数 , 故连续.,又,故函数在全平面连续 .,由夹逼准则得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题:,
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