电工技术(西电第二版)第3章 正弦交流电路.ppt
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1、第3章 正弦交流电路,3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦量的相量表示法 3.3 单一参数电路元件的交流电路 3.4 电阻电感电容串联电路 3.5 正弦交流电路的一般分析方法 3.6 电路的谐振 3.7 功率因数的提高 本章小结 思考题与习题,3.1 正弦交流电的基本概念 3.1.1 电力生产过程介绍 图3-1为燃煤电厂的火力发电生产及输送过程示意图。,图3-1 火力发电生产及输送过程示意图,水力发电及输送过程示意图如图3-2所示。 电力生产所耗用的一次能源量是很大的, 一座100万千瓦燃煤发电厂日耗原煤量约1100013000吨。 在生产过程中, 电厂自身需用电量, 火电厂的厂用电率为
2、7%9%。 水电厂的厂用电率为0.3%左右。 在供电过程中, 输配电设备的线损率为8%左右, 管理不善的系统还要高得多。,图3-2 水力发电及输送过程示意图,3.1.2 发电机的工作原理 图3-3是一个最简单的交流发电机的原理示意图。 交流发电机的结构, 主要由一对能够产生磁场的磁极(定子)和能够产生感应电动势的线圈(转子)组成。 转子线圈的两端分别接到两只互相绝缘的铜滑环上, 铜环与连接外电路的电刷相接触。 图3-4是线圈在磁场运动中切割磁力线的情况。,图3-3 交流发电机原理示意图,图3-4 交流发电机线圈在磁场中的运动,在图3-3中, 由于发电机线圈cd边切割磁力线运动, 所以其产生的感
3、应电动势为 ecd=BLv sin(t+j0) (3-1) 同理, 线圈ab边产生的感应电动势为 eab=BLv sin(t+j0) (3-2) 所以整个线圈产生的感应电动势为 e=eab+ecd=2BLv sin(t+j0)=Em sin(t+j0) (3-3) 式中, Em=2BLv是感应电动势的最大值, 又叫振幅。,3.1.3 周期和频率 周期电流应该是 i(t)=i(t+kT) (3-4) 式中, k为任意正整数, 单位为秒(s)。 周期电流波形如图3-5所示。 式(3-4)表明, 在时间t和时刻t+kT的电流值是相等的。,图3-5 正弦交流电的波形,于是, 将T称为周期, 周期的倒数
4、称为频率, 用符号f表示, 即,(3-5),频率表示了单位时间内周期波形重复出现的次数。 频率的单为1/s, 有时称为赫兹(Hz)。 我国工业和民用电的频率是50 Hz, 称为标准工业频率或简称工频。,3.1.4 相位和相位差 1 相位 正弦电流的数学表达式为 i(t)=Im sin(t+ji) (3-6) 式中的三个常数Im、ji称为正弦量的三要素。 Im为正弦电流的振幅, 它是正弦电流在整个变化过程中所能达到的最大值。 称为正弦电流i的角频率, 正弦量随时间变化的核心部分是t+ji, 它反映了正弦量的变化进程, 称为正弦量的相角或相位,就是相角随时间变化的速度, 单位是rad/s。,反映正
5、弦量变化快慢的要素, 与正弦量的周期T和频率f有如下关系 T=2 或,ji称为正弦电流i的初相角(初相)。 它是正弦量t=0时刻的相角, 它的大小与计时起点的选择有关。 初相角ji在工程上用角度来度量, 一般总是取小于或等于的数值。,我们以正弦交流电过零变正的时刻为一个周期的波形起始点, 如在t=0时,正弦交流电正好处于波形起始点, 则认为初相角ji=0; 如正弦交流电在t=0之前已经到达波形的起始点,则认为ji0;如正弦交流电在t=0之后才到达波形起始点,则认为ji0。用正弦交流电的三要素能完全表征正弦交流电在任何瞬间的数值瞬时值。如图3-6所示为正弦电流的瞬时值波形。电压或电流瞬时值常用小
6、写字母u(t)或i(t)来表示。,图3-6 正弦电流的瞬时值波形,2 相位差 在正弦电流电路的分析中, 经常要比较同频率的正弦量的相位差。 设任意两个同频率的正弦量 i1(t)=I1m sin(t+j1) i2(t)=I2m sin(t+j2) 它们之间的相位之差称为相位差, 用j表示, 即 j=(t+j1)(t+j2)=j1j2 (3-8),如图3-7所示, 若j0, 表明i1超前i2, 称i1超前i2一个相位角j, 或者说i2滞后i1一个相位角j 。 若j =0, 表明i1与i2同时达到最大值, 则称它们是同相位的, 简称同相。 若j =180, 则称它们的相位相反, 简称反相。 若j 0
7、, 表明i1滞后i2一个相位角j 。,图3-7 两个同频率正弦量之间的相位差,例3-1 已知正弦电压u和电流 i1、 i2的瞬时值表达 式为 u=310 sin(t45)V i1=14.1 sin(t30)A i2=28.2 sin(t+45)A 试以电压u为参考量重新写出u和电流i1、i2的瞬时值表 达式。,解 以电压u为参考量, 则电压u的表达式为 u=310 sint V 由于i1与u的相位差为 j1=ji1ju=30(45)=15 故电流i1的瞬时值表达式为 i1=14.1 sin(t+15)A 由于i2与u的相位差为 j2=ji2ju=45(45)=90 故电流i2的瞬时值表达式为
8、i2=28.2 sin(t+90)A,3.1.5 有效值 交流电的有效值是根据电流的热效应原理来规定的。 在数值相同的电阻R上分别通以周期电流i和直流电流I。 当周期电流流过电阻时, 该电阻在一个周期T内所消耗的电能为,当直流电流流过电阻R时, 在相同时间T内所消耗的电 能为 PT=I2RT 如果在周期电流一个周期T的时间内, 这两个电阻所消耗的电能相等, 也就是说,就其做功平均能力来说, 这两个电流是等效的, 则该直流电流I的数值可以表征周期电流i的大小, 于是, 把这一等效的直流电流I称为交流电流i的有效值, 即,由式(3-9)可知, 周期电流的有效值等于电流瞬时值的平方在一个周期内的平均
9、值再开方, 因此, 有效值又称为均方根值。,同理可得周期电压U的有效值为,正弦交流电流i(t)=Im sin(t+ji)的有效值为,(3-10),3.2 正弦量的相量表示法 3.2.1 相量 求解一个正弦量必须先求得它的三要素, 但在分析正弦交流电路时, 由于电路中所有的电压、 电流都是同一频率的正弦量, 而且它们的频率与正弦电源的频率相同,因此, 只要分析另外两个要素幅值(或有效值)及初相位就可以了。 正弦量的相量表示就是用一个复数来表示正弦量。 这样的一个复数称为相量。 由欧拉公式可知,(3-12),式(3-12)把一个实变数的复指数函数和两个实变数t的正弦函数联系了起来。,(3-13),
10、式中, “Re”表示对复数函数取实部, “Im”表示对复数函数取虚部。 这样, 一个正弦电流i(t)=Im sin(t+ji)可以写为,(3-14),其中,3.2.2 相量图 相量在复平面上可以用有向线段表示, 电压相量如图3-8所示。,图3-8 电压相量图,旋转相量在虚轴上的投影便是正弦电流, 如图3-9所示。,图3-9 旋转相量及其在实轴和虚轴的投影,例3-3 已知 , , 求总电流i=i1+i2的瞬时值。 解 方法一: i1、i2的有效值相量分别为,所以,方法二: i1、 i2的相量图如图3-10所示, 用平行四边行法则求得,图3-10 例3-3的图,3.3 单一参数电路元件的交流电路
11、3.3.1 电阻电路 1. 电压电流关系 图3-11(a)是一个线性电阻元件的交流电路。,图3-11 电阻元件的交流电路 (a) 电路; (b) 波形图; (c) 相量图,电阻元件的电压电流关系由欧姆定律确定, 在u、 i参考方向一致时, 两者的关系为 u=Ri 设电流为参考正弦量, 即 i=Im sint (3-15) 则 u=Ri=RIm sint=Um sint (3-16),比较式(3-15)和式(3-16)可知, 电压u和电流i有如下大小和相位关系: u、 i的相位差为 j=juji=0 即电阻元件上的电压和电流同相。 u、 i的幅值关系为 Um=RIm u、 i的有效值关系为 U=
12、RI,2 功率 功率的变化曲线如图3-12所示, 从曲线可以看出, 电阻所吸收的功率在任一瞬时总是大于等于零的, 即电阻是耗能元件。 瞬时功率无实用意义, 通常都是计算一个周期内取用功率的平均值, 称为平均功率或有功功率, 用大写字母P表示。,图3-12 电阻元件的功率,例3-4 已知一个白炽灯泡, 工作时的电阻为 484 , 其两端的正弦电压u=311 sin(314t60)V, 试求: (1) 通过白炽灯的电流相量 及瞬时表达式i; (2) 白炽灯工作时的功率。,解 (1) 电压相量为,电流相量为,电流瞬时值表达式为,(2) 平均功率为,3.3.2 电感电路 1 电压电流关系 电感电路如图
13、3-13(a)所示。,图3-13 电感元件的交流电路 (a) 电路; (b) 波形图; (c) 相量图,在关联参考方向下, 电感元件的电压、 电流关系为,若设电流 i为参考正弦量, 即 i = Im sint (3-18) 则,(3-19),u、i的相量关系如下: 若电流相量为 , 根据前面的关系式可得电压相量为,即,(3-20),2 功率 电感电路所吸收的瞬时功率为,电感元件的功率变化曲线如图3-14所示。 从功率曲线可以看出, 曲线所包围的正、 负面积相等, 故平均功率(有功功率)为,图3-14 电感元件的功率,例3-5 已知一个电感线圈, 电感L=0.5H, 电阻可略去不计, 接在50
14、Hz、 220 V的电源上, 试求: (1) 该电感的感抗XL; (2) 电路中的电流I及其与电压的相位差j; (3) 电感占用的无功功率QL。 ,解 (1) 感抗为 XL=2fL=2500.5 =157 (2) 选电压 为参考相量, 即 =2200V, 则,即电流的有效值 I=1.4 A, 相位上滞后于电压90。,3.3.3 电容电路 1 电压电流关系 电容元件的交流电路如图3-15所示。,图3-15 电容元件的交流电路 (a) 电路; (b) 波形图; (c) 相量图,在关联参考方向下, 电容元件的电压电流关系为,在图3-15(a)所示电路中, 设电压为参考正弦量, 即,(3-22),则,
15、u、 i的相位差为 j=juji=90 即电容元件上电流比电压超前90。 u、 i的幅值关系为 Im=CUm 或 u、 i的有效值关系为,式中, XC称为容抗, 单位为欧姆(), 且,(3-24),u、i的相量关系: 由式(3-23)、 (3-24)可知,或,2 电容电路中的功率 电容电路所吸收的瞬时功率为 功率瞬时值曲线见图3-16。,(3-25),图3-16 电容元件的功率瞬时值,例3-6 一个10 F的电容元件, 接到频率为50 Hz、 电压有效值为12 V的正弦电源上, 求电流 I。 若电压有效值不变, 而电源频率改为1000 Hz, 试重新计算电流 I。 解 (1) 当频率f=50
16、Hz时, 容抗为,电流为,(2) 当频率f=1000 Hz时, 容抗为,电流为,3.4 电阻电感电容串联电路 3.4.1 电压与电流之间的关系 图3-17所示为R、 L、C串联电路。,图3-17 R、 L、C串联的交流电路,1 电压有效值 将 与 的相量和定义为 , 由相量图可知外接电压相量 、 相量 构成一个直角三角形, 称为电压三角形, 如图3-18(a)所示。,不难求出,(3-27),图3-18 电压、 阻抗及功率三角形 (a) 电压三角形; (b) 阻抗三角形; (c) 功率三角形,代入式(3-27),得,(3-28),根式 具有阻碍电流的性质, 称为电路的阻抗, 用符号|Z|表示,它
17、的单位也是欧姆(), 即,(3-29),2 电压u与电流i有效值之间的关系 阻抗中的XLXC被称为电抗, 用符号 X 表示, 将X= XLXC代入式(3-29), 有,阻抗|Z|、 R与X的关系也可用直角三角形表示, 称为阻抗三角形, 如图3-18(b)所示。 于是, 电压、 电流的有效值关系为 U=|Z|I,3 电压u与电流i的相位差 由于以 为参考相量, ji=0, 所以u、i的相位差 j=juji=ju, 由电压三角形可知,可见, 当电源频率一定时, 电压u与电流i的相位关系和有效值关系都取决于电路参数R、 L、C。,4 电压u与电流i的相量关系 由单一参数电路的电压关系可得,(3-30
18、),式中, R+j(XLXC)称为复阻抗, 用符号Z表示, 即,有了复阻抗的概念, 则式(3-30)可写成 式(3-31)与直流电路中欧姆定律有相似的形式, 称为欧姆定律的相量形式。 进一步展开推导, 有,(3-31),例3-7 已知一个R、L串联电路, R=30 , XL=40 , 求电流 i。 解 方法一: 分别确定i的初相ji和有效值 I。,所以,阻抗为,电流为,因此,方法二: 用相量 、 的关系求解。 电压相量为,复数阻抗为,电流相量为,因此,3.4.2 电阻电感电容串联电路的功率 1 平均功率(有功功率) 在R、 L、C串联的正弦交流电路中, 若u、i参考方向一致, 且设有正弦电流i
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