二阶微分方程.ppt
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1、5.3 二阶微分方程 主要内容 1.可降阶的二阶微分方程 2.二阶常系数线性微分方程 1 1 一、可降阶的二阶微分方程 这类二阶微分方程的特点是,经过适当的变换将二 阶微分方程化为一阶微分方程,然后用前一节介绍的方 法来求解 下面介绍三种可降阶的二阶微分方程的解法. 2 2 就得到一个一阶微分方程,即 两边再积分,即连续积分 两次就能得到方程(1)的通解 只要连续积分n次,即可得到含有n个任意常数的通解 是最简单的二阶微分方程, (1) 方程 两边积分,得 同理,对于方程 (2) 3 3 例1 解 对所给的方程连续积分三次,得 这就是所求方程的通解 4 4 因而方程(3)就变为 这是一个关于变
2、量 x , p 的一阶微分方程,可以用前一节所 介绍的方法求解 方程 (3) 的右边不显含未知函数 y 5 5 例2 解 这是关于 p 的一阶线性非齐次微分方程因为 从而所求微分方程的通解为 于是 即 所以 6 6 例3 解 代入方程 并分离变量后, 得 两端积分,得 再积分,得 即 所以 于是所求的特解为 7 7 为了求出它的解, 利用复合函数的求导法则, 于是方程(4)就变为 这是一个关于变量 y , p 的一阶微分方程 .设它的通解为 分离变量并积分,得方程(4)的通解为 方程(4) 中不显含自变量 x 8 8 例4 解 方程不显含自变量 x , 代入方程,得 那么约去 p 并分离变量,
3、得 两端积分并进行化简,得 再一次分离变量并积分,得 显然它也满足原方程 如果p0, 或 或 如果P = 0,那么立刻可得 y = C, 已被包含在解 中了 但 y =C 所以方程的通解为 9 9 例5 解 两边积分,得 即为所求的满足初始条件的特解 代入原式,得 即 或 积分后,得 代入上式整理后得 1010 二、二阶常系数线性微分方程 定义 方程 (5) 叫做二阶常系数线性微分方程,其中 p 、q 是常数 下面来讨论二阶常系数线性微分方程的解法 方程(5)叫做二阶常系数线性微分方程 方程(5)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程. 1111 1二阶常系数线性齐次微分方程的通解 定理1 这个定理
4、表明了线性齐次微分方程的解具有叠加性 叠加起来的解(7)从形式上看含有 与 两个任意常数, 但它还不一定是方程(6)的通解 先讨论二阶常系数线性齐次微分方程 (6) 的解的结构 那么 (7) 也是方程(6)的解,其中是任意常数 1212 那么在什么情况下(7)式才是(6)式的通解呢? 为了解决这 个问题,下面给出函数线性相关与线性无关的定义: 因此,当 时, 如果 不恒等于一个常数, 则 与 就是线性无关的 显然,对于两个线性相关的函数 和 ,恒有 对于两个都不恒等于零的函数 与 , 那么把函数 与 叫做线性相关; 否则就叫做线性无关 如果存在一 个常数C使 , 1313 二阶常系数线性齐次微
5、分方程(6)的通解结构定理: 由此可知,求二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解, 定理2 就是方程(6)的通解,其中 是任意常数 关键在于求出方程的两个线性无关的特解 和 而当 r 为常数时,指数函数 和它的各阶导数都 只相差一个常数因子 因此,我们可以设想二阶常系数齐次方 程式的特解也是一个指数函数 ,只要求出 r ,便可得到 方程(6)的解 如果函数 是常系数线性齐次微分方程 (6)的两个线性无关的特解,那么 1414 所以上式要成立就必须有 (8) 反之,若r是方程(8)的一个根, 特征方程的根称为特征根 方程(8)是以 r为未知数的二次方程,我们把它称为微分 方程(6)的特征方程,
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