「数学思想方法」练习卷(含答案)参考知识点复习考点归纳总结.doc
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1、数学思想方法练习卷 电大考试电大小抄电大复习资料 1某次数学测验一共出了 10 道题,评分方法如下:每答对一题得 4 分,不答题得 0 分, 答错一题倒扣 1 分,每个考生预先给 10 分作为基础分。问:此次测验至多有多少种 不同的分数? 2一支队伍的人数是 5 的倍数,且超过 1000 人。若按每排 4 人编队,则最后差 3 人; 若 按每排 3 人编队,则最后差 2 人;若按每排 2 人编队,则最后差 1 人。问:这支 队伍至少有多少人? 3在八边形的 8 个顶点上是否可以分别记上数 1,2,8,使得任意三个相邻的顶点 上的数的和大于 13? 4有一个 1000 位的数,它由 888 个
2、1 和 112 个 0 组成,这个数是否可能是一个平方数? 5如下图,四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形,且边长均为 2cm。又 E 点是正方形 ABCD 的中心,求两个正方形公共部分(图中阴影部分)的面积 S。 6是否在平面上存在这样的 40 条直线,它们共有 365 个交点? 7如右图,正方体的 8 个顶点处标注的数字为 a,b,c,d,e, 求(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值。 8将 n2 个互不相等的数排成下表: a11 a 12 a 13 a 1n a21 a 22 a 23 a 2n an1 a n2 a n3 a nn 先取每行的最大数,得到 n 个数,其中最小
3、数为 x;再取每列的最小数,也得到 n 个 数,其中最大数为 y。试比较 x 和 y 的大小。 9将 10 到 40 之间的质数填入下图的圆圈中,使得 3 组由“”所连的 4 个数的和相等, 如果把和数相等的填法看做同一类填法,请说明一共有多少类填法?并画图表示你的 填法。 10有四个互不相等的数,取其中两个数相加,可以得到六个和: 24,28,30,32,34,38。求此四数。 11互不相等的 12 个自然数,它们均小于 36。有人说,在这些自然数两两相减(大减小) 所得到的差中,至少有 3 个相等。你认为这种说法对吗?为什么? 12有 8 个重量各不相同的物品,每个物品的重量都是整克数且都
4、不超过 15 克。小平想 以最少的次数用天平称出其中最重的物品。他用了如下的测定法: (1)把 8 个物品分成 2 组,每组 4 个,比较这 2 组的轻重; (2)把以上 2 组中较重的 4 个再分成 2 组,即每组 2 个,再比较它们的轻重; (3)把以上 2 组中较重的分成各 1 个,取出较重的 1 个。 小平称了 3 次天平都没有平衡,最后便得到一个物品。 可是实际上得到的是这 8 个物品当中从重到轻排在第 5 的物品。 问:小平找出的这个物品有多重?并求出第二轻的物品重多少克? 13.育才小学 40 名学生参加一次数学竞赛,用 15 分记分制(即分数为 0,1,2,15)。全班总分为
5、209 分,且相同分数的学生不超过 5 人。试说明得 分超过 12 分的学生至多有 9 人。 14.今有一角纸币、二角纸币、五角纸币各 1 张,一元币 4 张,五元币 2 张,用这些纸币 任意付款,一共可以付出多少种不同数额的款项? 15.求在 8 和 98 之间(不包括 8 和 98),分母为 3 的所有最简分数的和。 16.如右图,四边形 ABCD 的面积为 3,E,F 为边 AB 的三等分点,M,N 是 CD 边上的三等 分点。求四边形 EFNM 的面积。 17.直线上分布着 1998 个点,我们标出以这些点为端点的一切可能线段的中点。问:至 少可以得到多少个互不重合的中点? 18.假定
6、 100 个人中的每一个人都知道一个消息,而且这 100 个消息都不相同。为了使所 有的人都知道一切消息,他们一共至少要打多少个电话? 19.有 4 个互不相等的自然数,将它们两两相加,可以得到 6 个不同的和,其中较小的 4 个和是 64,66,68,70。求这 4 个数。 20.有五个砝码,其中任何四个砝码都可以分成重量相等的两组。问:这五个砝码的重量 相等吗?为什么? 数学思想方法练习卷答案 1解:最高的得分为 50 分,最低的得分为 0 分。在从 0 分到 50 分这 51 个分数中,有 49,48,47,44,43,39 这 6 种分数是不能达到的,故此次测验不同的分数至多有 51-
7、 6=45(种)。 2分析:从条件的反面来考虑,可理解为“若按每排 4 人编队,则最后多 1 人”。按 3 人、2 人排队都可理解为多 1 人。即总人数被 12 除余 1。这样一来,原题就化为:一 个 5 的倍数大于 1000,且它被 12 除余 1。问:这个数最小是多少?解:是 5 的倍数且 除以 12 余 1 的最小自然数是 25。因人数超过 1000,3, 4,5=60,最少有 25+6017=1045(人)。 3解:将八边形的 8 个顶点上的数依次记为 a1,a2,a3,a8,则有 S=a1+a2+a3+a8=1+2+3+8=36。 假设任意 3 个相邻顶点上的数都大于 13,因为 顶
8、点上的数都是整数,所以 a1+a2+a314; a2+a3+a4 14; a7+a8+a114;a8+a1+a214 。 将以上 8 个不等式相加,得 3S112,从而 S 37,这与 S=36 矛盾。故结论是否定 的。 4解:假设这个数为 A,它是自然数 a 的平方。 因为 A 的各位数字之和 888 是 3 的倍 数,所以 a 也应是 3 的倍数。于是 a 的平方是 9 的倍数,但 888 不是 9 的倍数,这样 就产生了矛盾,从而 A 不可能是平方数。 5.分析:我们先考虑正方形 EFGH 的特殊位置,即它的各边与正方形 ABCD 的各边对应 平行的情况(见上图)。此时,显然有 得答案后
9、,这个问题还得回到一般情况下去解决,解决的方法是将一般情况变成特殊 情况。 解:自 E 向 AB 和 AD 分别作垂线 EN 和 EM(右图),则有 S=SPME+S 四边形 AMEQ 又 SPME=S EQN,故 S=SEQN+S 四边形 AMEQ =S 正方形 AMEN=1 6. 分析与解:先考虑一种特殊的图形:围棋盘。它有 38 条直线、361 个交点。我们就从 这种特殊的图形出发,然后进行局部的调整。 先加上 2 条对角线,这样就有 40 条直线了,但交点仍然是 361 个。再将最右边的 1 条直线向右平移 1 段,正好增加了 4 个交点(见上图)。于是,我们就得到了有 365 个 交
10、点的 40 条直线。 7. 分析:从这 8 个数都相等的特殊情况入手,它们满足题目条件,从而得所求值为 0。 这就启发我们去说明 a+b+c+d=e+f+g+h。 解:由已知得 3a=b+e+d,3b=a+c+f, 3c=b+d+g, 3d=a+c+h, 推知 3a+3b+3c+3d=2a+2b+2c+2d+e+f+g+h, a+b+c+d=e+f+g+h , (a+b+c+d)- (e+f+g+h) =0。 8. 分析:先讨论 n=3 的情况,任取两表: 1 3 7 1 2 3 2 5 6 4 5 6 8 9 4 7 8 9 左上表中 x=6,y=4 ;右上表中 x=3,y=3。两个表都满足
11、 xy,所以可以猜想 xy。 解:设 x 是第 i 行第 j 列的数 aij,y 是第 l 行第 m 列的数 alm。考虑 x 所在的行与 y 所在 的列交叉的那个数,即第 i 行第 m 列的数 aim。显然有 aijaimalm,当 i=l,j=m 时等 号成立,所以 xy。 9. 解:10 到 40 之间的 8 个质数是 11,13,17,19,23,29,31,37。 根据题目要求,除去最左边和最右边的 2 个质数之外,剩下的 6 个质数在同一行的 2 个质数的和应分别相等,等于这 6 个数中最小数(记为 a)与最大数(记为 b)之和 a+b。根据 a, b 的大小可分为 6 种情况:
12、当 a=11,b=29 时,无解; 当 a=11,b=31 时,有 11+31=13+29=19+23,得到如下填法: 当 a=11,b=37 时,有 11+37=17+31=19+29,得到如下填法: 当 a=13,b=31 时,无解; 当 a=13, b=37 时,无解; 当 a=17,b=37 时,无解。 所以,共有 2 类填法。 10. 解:设四个数为 a,b,c,d,且 abcd,则六个和为 a+b, a+c,a+d ,b+c,b+d,c+d,其中 a+b 最小,a+c 次小,c+d 最大,b+d 次大, a+d 与 b+c 位第三和第四。 得 11. 解:设这 12 个自然数从小到
13、大依次为 a1,a2,a 3, ,a12,且它们两两相减最多 只有 2 个差相等,那么差为 1,2,3,4,5 的都最多只有 2 个。从而 a12-a11,a11-a10,a10-a9, ,a2-a1, 这 11 个差之和至少为 2(1+2+3+4+5)+6=36, 但这 11 个差之和等于 a12-a136。这一矛盾说明,两两相减的差中,至少有 3 个 相等。 12. 解:设这 8 个物品的重量依次排列为: 15a1a2a 3a4a5a 6a 7a81。 小平找出的这个物品重量为 a5,第二轻的物品重量为 a7。 由于 a5 加上一个比它轻的物品不可能大于两个比 a5 重的物品重量之和,因而
14、第 一次必须筛去 3 个比 a5 重的物品。 这样就有以下四种可能: 先考虑第一种情况。根据式,a4 比 a1 至少轻 3 克,a 5 比 a2,a 6 比 a3 也都至 少轻 3 克,则 a7 比 a8 至少重 10 克。根据式,a 5 比 a4 至少轻 1 克,则 a6 比 a7 至 少重 18 克。与已知矛盾,第一种情况不可能出现。按同样的方法,可以说明第二种 和第三种情况也不可能出现。 最后,考虑第四种情况。a1 比 a2 至少重 1 克;a 5 比 a3,a 6 比 a4 都至少轻 1 克, 则 a7 比 a8 至少重 4 克。根据 式,a 5 比 a4 至少轻 4 克,则 a6 比
15、 a7 至少重 5 克。 这样得到的这 8 个物品的重量分别为:a1=15 克, a2=14 克, a3=13 克, a4=12 克, a5=11 克,a6=10 克,a 7=5 克,a8=1 克。小平找出的这个物品重 11 克,第二轻的物 品重 5 克。 13.若得分超过 12 分的学生至少有 10 人,则全班的总分至少有 5(12+13)+5(0+1+2+3+4+5)=210(分), 大于条件 209 分,产生了矛盾,故得分超过 12 分的学生至多有 9 人。 14.解:从最低币值 1 角到最高币值 14 元 8 角,共 148 个不同的币值。再从中剔除那些不 能由这些纸币构成的币值。经计
16、算,应该剔除的币值为(i+0.4)元 (i=0,1,2,14)及(j+0.9)元(j=1,2,3,13),一共 29 种币值。所 以,一共可以付出 148-29=119(种)不同的币值。 15. =2(8+9+97)+(97-8+1)=9540。 16.解:先考虑 ABCD 是长方形的特殊情况,此时 EFNM 的面积是 1。 下面就一般情况求解。 连结 AC,AM,FM,CF,则 17.解:为了使计算互不重复,我们取距离最远的两点 A,B。先计算以 A 为左端点的所有 线段,除 B 外有 1996 条,这些线段的中点有 1996 个,它们互不重合,且到点 A 的距离 小于 AB 长度的一半。
17、同样,以 B 为右端点的所有线段,除 A 外有 1996 条,这些线段 的中点有 1996 个,它们互不重合,且到点 A 的距离小于 AB 长度的一半。 这两类中 点不会重合,加上 AB 的中点共有 1996+1996+1=3993(个),即互不重合的中点不少于 3993 个。另一方面,当这 1998 个点中每两个相邻点的间隔都相等时,不重合的中点数恰 为 3993。这说明,互不重合的中点数至少为 3993 个。 18. 解:考虑特殊的通话过程:先由 99 人每人打一个电话给 A,A 再给 99 人每人打一个 电话,这样一共打了 198 个电话,而且每人都知道了所有的消息。下面说明这是次数最
18、少的。考虑一种能使所有人知道一切消息的通话过程中的关键性的一次通话,这次通话 后,有一个接话人 A 知道了所有的消息,而在此之前还没有人知道所有的消息。 除 了 A 以外的 99 人每人在这个关键性的通话前,须打出电话一次,否则 A 不可能知道所有 的消息;又这 99 人每人在这个关键性的通话后,又至少收到一个电话,否则它们不可能 知道所有的消息。 19. 解:设 4 个数为 a,b,c,d,且 abcd,则 6 个和为 a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d。于是有 a+ba+c a+db+dc+d 和 a+ba+cb+cb+dc+d。 得 20. 解:去掉 e,则有 a+d=b+c
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