数学建模报告-朱迪.doc
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1、 DVD在线租赁 星期五, 四月 05, 2019数学建模课程设计 报 告课题名称:_DVD在线租赁 系 (院): 理学院 专 业: 数学与应用数学 班 级: 08122111 学生姓名: 朱迪 学 号: 0812211143 指导教师: 许建强 开课时间: 2009-2010 学年 二 学期DVD 在线租赁摘要本论文通过对DVD 租赁问题的抽象简化,建立了一个明确的、完整的数学模型,用线性规划模型对DVD 分配进行优化,设计出一个使得会员满意度较高的分配方案。问题一是由我的组员顾双双完成的。本文通过问卷调查以及问题给出的历史数据建立了基于DVD租用次数限制的通用模型,并且我们还考虑了悲观估计
2、和乐观估计。问题二是在老师的帮助下,我自己完成的。我首先对满意度量化进行了定义,并作出相应的假设。根据假设建立01规划模型,用LINGO 软件编程求得各种DVD 的分配方案。根据实际情况,我考虑了三种做法:第一种是让一部分人分2张,其他人分3张;第二种是让所有人都分到3张DVD;第三种是让一部分人分不到,从而保证其他人分到3张。做出比较,如果会员想看10张左右DVD,网站一张也无法满足,必然会使会员产生较大抱怨,很可能转而找其他网站,即会员流失。如果先满足2张,会员可以先看起来,看过归还,一个月内还能再租一次,本月内看到5张,只比正常情况下的6张少一张,及时有一些不满意,但程度不重。三种方案相
3、比较,第一种情况比其余两种情况都好,整体满意度高。最后,我们对模型的科学性和现实性进行了阐述,并得到了对模型的整体评价,及急需改进之处.关键词:在线租赁 通用(GM)模型 Lingo程序 最大满意度 0-1 规划模型(BIP)偏爱程度一、问题重述1.1 问题产生背景随着信息时代的到来,网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度,面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如,音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势,包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等,为顾客提供更为周到的服务。1.2 问题描述
4、如下是在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员,订购DVD 租赁服务。会员对哪些DVD 有兴趣,只要在线提交订单,网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD,这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2 次,每次获得3 张DVD。会员看完3 张DVD 之后,只需要将DVD 放进网站提供的信封里寄回(邮费由网站承担),就可以继续下次租赁。请考虑以下问题:1)网站正准备购买一些新的DVD,通过问卷调查1000 个会员,得到了愿意观看这些DVD 的人数(表1 给出了其中5 种DVD 的
5、数据)。此外,历史数据显示,60%的会员每月租赁DVD 两次,而另外的40%只租一次。假设网站现有10 万个会员,对表1 中的每种DVD 来说,应该至少准备多少张,才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD?如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢?2)表2 中列出了网站手上100 种DVD 的现有张数和当前需要处理的1000 位会员的在线订单,如何对这些DVD 进行分配,才能使会员获得最大的满意度?请具体列出前30 位会员(即C0001C0030)分别获得哪些DVD。表 1 对 1000 个会员调查的部分结果DVD 名称 DVD1 DVD2 DV
6、D3 DVD4 DVD5 愿意观看的人数 200 100 50 25 10 表 2 现有 DVD 张数和当前需要处理的会员的在线订单(表格格式示例)DVD 编号 D001 D002 D003 D004 DVD 现有数量 10 40 15 20 会员在线订单 C0001 6 0 0 0 C0002 0 0 0 0 C0003 0 0 0 3 C0004 0 0 0 0 注: D001D100 表示 100 种 DVD, C0001C1000 表示 1000 个会员 , 会员的在线订单用数字 1,2, 表示,数字越小表示会员的偏爱程度越高,数字 0 表示对应的 DVD 当前不在会员的在线订单中。二
7、、问题分析2.1 会员分类的定义A类会员:每月租赁DVD两次的会员;B类会员:每月租赁DVD一次的会员;说明:两类会员可以没有严格的区分,在不同的月份同一会员的类别也可能改变,但是从整体上看,A类会员和B类会员在总人数中的比例必须分别为60%和40%。2.2对同一张碟在一个月内允许被租借次数的两种不同理解。 我们经过查阅在线租赁网站,发现网上租赁有些是没有归还期限的(只要求保持每月交纳会员费,例如亚马逊网站的在线DVD租赁业务),即使有也是一个最后截止日期(从租赁之日起计算),没有明确要求在某一固定日期归还的。于是出现了两种不同的理解:理解一:同一张碟在一个月内最多被允许租借两次。该网站60%
8、的会员每月租赁DVD两次,另外的40%只租一次,并且该网站租赁DVD碟处于一种供不应求的状态。给出如下假设:假设,A类会员在每月一号租借的碟十五号归还,再租借其他的碟到月底归还。B类会员在一号租借,到月底归还。如下图所示: 图2.2 DVD租借归还结构图根据上述假设,可以认为一张碟在一个月内之多被租出两次。理解二:同一张碟在一个月内允许被多次租借从实际角度出发,为了充分利用现有资源,DVD碟应该被允许被多次租借,即:碟一经归还,立即可以再次租借,考虑到网站商务的连续性,在任意30天内,每天都有现有碟租出和已租碟归还的操作。2.3现有碟的分配问题现有碟的一次性分配是一个大型的线性规划(LP)问题
9、,我们建立0-1整数线性规划(Binary Integer Programming)模型(BIP),利用规划软件Lingo求解。规划目标是会员获得最大满意度。2.4有关第二问的思考 对Excel列出的网站100种DVD现有张数和1000位会员的在线订单数据作统计和分析。100种DVD现有总张数3007,1000名会员每人分配3张,共需要3000张,似乎够分,但是其中37号DVD的库存量为106,而有愿望观看该DVD的人数只有91人,考虑到网站不能把会员不想看的DVD强制分给他,故37号DVD至多分出去91人,余15张,总数3007张之多分出去2992张,如果每人分3张的话,至少欠缺8张,于是可
10、以肯定有会员分不到3张;若不考虑网站不能把会员不想看的DVD强制分给他,则每位成员分3张;综上,我们考虑了三种做法:第一种是让一部分人分2张,其他人分3张;第二种是让所有人都分到3张DVD;第三种是让一部分人分不到,从而保证其他人分到3张,究竟哪一种方法更合适、总体满意度更高呢?三、模型假设1、假设问卷调查,所得数据符合统计规律。2、假设邮寄时间可以忽略不计。3、假设不同会员对某一种DVD的喜好指数也是相互独立的。同意会员对不同种DVD的喜好指数也是相互独立的。4、假设DVD碟一经归还,立即租出。(解释:本网站租赁DVD处于一种供不应求的状态,故作此假设)5、假设A类会员在每月一号租借的碟十五
11、号归还,再租借其他的碟到月底归还。B类会员在一号租借,到月底归还。(注:本假设不适用于DVD碟在一个月内允许被多次(大于2次)租借的情况。)6、第二问中分别假设第一种是让一部分人分2张,其他人分3张;第二种是让所有人借3张;第三种是让一部分人分不到,从而保证其他人分到3张;。6、DVD光碟在流通过程中是理想的,即在流通过程中不发生丢失、损坏等情况。四、名词解释1、满意度的量化【7】p218会员的在线订单用数字1,2.表示偏爱程度,数字越小偏爱程度越高,数字0表示不订,故数字越小满意度越高,因此对订单中的数字可以采用以下几种方法进行变换:(1)设某会员对喜欢的DVD排序为x,x=1,2,10,用
12、11减去订单中的数字,在除以10,计算公式为,于是得到对应于x的满意度依次为1,0.9,0.8,,0.1;(2)取倒数,计算公式为,于是得到对应于x的满意度依次为1,1/2,1/3,1/10;(3)用模糊数学中的隶属度的概念,选取适合的隶属度函数,对满意度进行量化。无论采用哪一种方法,各会员的满意度均需要作归一化处理,使每个会员对选中的DVD的满意度之和等于1。五、变量说明1、 在每月第一批租借碟的会员中,A类会员所占比例2、 指定月内看到第i种碟的总人数3、需要采购的第i种碟片的数量(i=1,5)4、表示第i个会员得到第j种DVD时的满意度5、表示第j种DVD的现有数量6、表示DVD的分配情
13、况7、表示分到DVD的张数六、模型的建立与求解6.1第一问的求解6.1.1建立模型:基于DVD碟租用次数限制的通用(General Model)模型一个月内至少50%的会员看到DVD的模型: (6.1.1)说明:k表示在每月第一批次租借碟的会员中,A类会员所占比例,(1-k)表示B类会员所占比例,表示一个月内看到第i种碟的总人数。三个月内至少95% 的希望看到该碟的会员能够看到DVD的模型:(由于95%的比例相当大,其中的两类会员的分布应该符合整体分布情况。) (6.1.1*)此时,表示三个月内看到第i种碟的总人数,其余符号含义不变。6.1.2模型求解表6.1.2GM模型求解结果DVD名称DV
14、D1DVD2DVD3DVD4DVD5一个月50%的人看到正常估计625031251563782313悲观估计9000450022501125450乐观估计500025001250625250三个月95%的人看到正常估计3959198010325161986.1.3模型分析 该模型的求解基于几个很理想化的假设,我们没有从实际角度出发,没有思考问题分析2.2理解二的情况。DVD碟应该被允许被多次租借,才能保证网站商务的连续性,同时提高碟的利用率,使碟的准备量更小。6.2第二问的求解 对会员没有选中的DVD,Excel表中用数字0表示,网站不能把它强制分给会员,故对相应的满意度统一赋值为-1。题目的
15、数据Excel文件中,我们可以充分利用Excel的替换、统计、自定义函数和计算功能,在Excel中进行数据的统计和满意度量化以及归一化处理,然后把Excel的数据传输到其他软件中。因为数据量很大,在此无法一一列出满意度的量化结果。6.2.1建立模型【7】P214现有碟的一次性分配时一个大型的线性规划(LP)问题,我们建立0-1整数线性规划(Binary Integer Programming)模型(BIP),在0-1型整数线性规划模型(BIP)中, (1)采用每个会员至少满足两张DVD的方法,目标函数是使1000名会员的总体满意度最大,约束条件是每种DVD的库存约束和每人分配DVD的张数约束(
16、2-3张)。会员租赁 DVD 满意度的目标函数为: 租赁规则约束:每种DVD数量是有限的,题目已给出,DVD数量限制:综上所述:BIP模型编写Lingo程序如下:model: !使会员获得最大满意度的DVD的分配方案;sets:rm/1.1000/:a;!a代表rm的属性;dvd/1.100/:d;!d代表dvd的属性;link(rm,dvd):c,x;!c,x代表link的属性!link表示衍生集合;c代表第i位会员对第j张DVD的满意度;x代表有没有分配到第j张DVD,0代表没有,1带有有;endsetsdata: !这里是数据;d=OLE(c:LINGO11zd.xls,kucun);
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