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1、第七章 离散控制系统,内容提要:,概述 采样过程和采样定理 : 采样过程 离散信号的数学描述 采样定理 信号恢复 Z变换与Z反变换 : Z变换定义 Z变换方法 Z变换性质 Z反变换,内容提要:,离散控制系统的数学描述 : 差分方程 Z传递函数 开环系统的Z传递函数 闭环系统Z传递函数 Z变换法的局限性 离散控制系统的分析 : 稳定条件及代数判据 频率特性法在离散系统中的应用 Z平面上的根轨迹 闭环极点分布对瞬态响应的影响 采样瞬时的稳态误差,7.1 概述,简化,7.2 采样过程和采样定理,一、采样过程,采样过程图,二、离散信号的数学描述,(8.2),L,三、采样定理,四、信号恢复,保持器(或保
2、持电路)作实际滤波器,零阶保持器的时域特性,数学模型 gh(t)=1(t)-1(t -T),频率特性,Gh(jw)=| Gh(jw)|Gh(jw),频率特性,Gh(jw)=| Gh(jw)|Gh(jw),7.3 Z变换与Z反变换,一、Z变换定义,二、Z变换方法,(一)级数求和法,X(z)=x(0)+x(T)z-1+x(2T)z-2+x(kT)z-k+,例7.1 试求取单位阶跃函数1(t)的Z变换,例7.2 试求取衰减的指数函数e-at(a0)的 Z变换,例7.3 试求取函数ak的Z变换,例7.4 试求取函数x(t)=sinwt的Z变换,解 单位阶跃函数1(t)在任何采样时刻上的值 均为1,即,
3、1(kT)=1, k=0,1,2,将上式代入求解式,得,1(z)=1+1*z-1+1*z-2+1*z-k +,在上式中,若|z|1,便可缩写成如下的封闭形式,即,返回,解 将e-at在各采样时刻上的采样值1、e-aT、e-2aT、e-kaT、,代入求解式中,得,Ze-at=1+e-aTz-1+e-2aTz-2+e-kaTz-k +,若条件|eaTz|1成立,则式便可写成下列闭式,即,返回,解 将ak 在各采样时刻上的采样值、ak 、a2 、ak 、 代入求解式中,得,Zak=1+a z-2+a2z-2+akz-k +,将上列级数写成闭式,便得函数ak的Z变换,即,返回,返回,(二)部分分式法,
4、例7.5,例7.6,利用部分分式法求取正弦函数sinwt的Z变换,返回,解 首先写出x(t)的拉氏变换X(s)的部分分式展开式,即,然后对上式逐项求取拉氏反变换,得,x(t)=1(t)-e-at,根据求得的时间函数再逐项写出相应的Z变换,即,返回,(三)留数计算法,求x(t)=t的Z变换,返回,求x(t)=te-at 的Z变换,返回,解 由X(s)可知s1=-1,s2=-2均为单极点,则可计算留数,即,返回,三、Z变换性质,1 线性定理,Zax(t)=aX(z) Zx1(t)x2(t)=X1(z)X2(z),2 时移定理,3 初值定理,4 终值定理,四、Z反变换,1 长除法 例,2 部分分式法
5、 例,3 留数计算法 例,解 用长除法将X(z)展开为无穷级数形式,返回,可以得到,由表8.1查得,因此,x(kT )=10(-1+2k ) k =0,1,2,,返回,或,返回,7.4 离散控制系统的数学描述,离散控制系统可以用差分方程和Z传递函数来表示,一、差分方程,差分方程,就是反映离散系统输入-输出序列之间的运算关系,方程中,自变量是离散的,方程的各项包含有这种离散变量的函数,如x(k)(k=0,1,2,),还包含有此函数序数增加或减少的函数x(k +1)、x(k -1)等。,一阶惯性环节,y(kT)与x(kT)之间的关系,t=(k +1)T时,二、Z传递函数,y(t)=x(0)g(t)
6、+x(T)g(t-T) +x(kT)g(t-kT),采样时刻t = kT 时,解 将G(s)分解成部分分式,查表8.1,即得,-,返回,返回,三、开环系统的Z传递函数,(1) 串联环节之间无采样器,(2) 串联环节之间有采样器,四、闭环系统Z传递函数,例7.17,设闭环系统结构图如图所示。求系统输出的Z变换,解 因为,Y(z)=XG(z)-GH(z)Y(z),整理,得,Y(z)=,返回,五、Z变换法的局限性,1Z变换的推导是建立在采样器是理想开 关这个基础之上的。,2 无论是开环或闭环离散系统,其输出大多是连续信号y(t)而不是采样信号y(kT)。而用一般的Z变换只能求出采样输出y(kT),这
7、样就不能反映采样间隔内的y(t)值。,用Z变换法研究(开环)离散系统时,首先必须满足:系统连续部分传递函数G(s)的极点至少比零点多两个,或者满足,例7.19 设开环离散系统如图所示,系统连续部分传递函数G(s)不满足上述条件。设x(t)=1(t),采样周期T=1(秒),试比较y*(t)与y(t)。,用幂级数法将Y(z)展成 Y(z)=1+1.368z-1 +1.5z-2 +1.55z-3 +1.56z-4 + 于是得 y*(t)=d (t)+1.368d (t -T)+1.5d (t -2T) +1.55d (t -3T)+1.56d (t -4T)+ 作出y*(t)如图8.23所示。,7.
8、5 离散控制系统的分析,一、稳定条件及代数判据,(一)Z平面内的稳定条件 例,二阶离散系统的方框图如图所示。试判断系统的稳定性,设采样周期T=1(秒),K=1。,将K=1,T=1代入,得 z2-0.736z +0.368=0 解之得到 z1=0.368+j0.482; z2=0.368-j0.482,K=5 时,其Z特征方程为 z2 +1.792z +0.368=0 解之,得到 z1= -0.237; z2= -1.555,返回,(二) 稳定性代数判据 例,特征方程式为 1+GH(z)=0,做变换关系,将变换式代入系统的Z特征方程,就可以使用代数稳定判据了判断系统的稳定性。,设具有零阶保持器的
9、离散系统,如图所示,采样周期T=0.2(秒),试判断系统稳定性,2.33v3 +3.68v2 +1.65v +0.34=0,劳斯表,v3 2.33 1.56 0 v2 3.68 0.34 0 v1 1.43 0 v0 0.34 0,返回,二、频率特性法在离散系统中的应用,示例,返回,三、Z平面上的根轨迹,离散系统的闭环特征方程 1+G(z)=0 其中G(z)为开环Z传递函数 Z平面上的根轨迹作图方法与S平面上的作图规则完全一致。唯一需要注意的是:在连续系统中,稳定的边界是虚轴,而在离散系统中,稳定的边界是单位圆。,例7.22,返回,四、闭环极点分布对瞬态响应的影响,五、采样瞬时的稳态误差,系统的稳态误差与开环脉冲传递函数G(z)中z =1的极点数密切有关,对于离散系统来,可把开环脉冲传递函数G(z)中z=1的极点数用v来表示,并把v = 0,1,2,3,的离散系统分别称为0型、1型、2型和3型系统等,稳态误差表,以静态误差系数表示的稳态误差,表中Kp 、Kv 、Ka分别为位置、速度、加速度静态误差系数,T为采样周期。,
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