分离变量法.ppt
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1、1,适用于均 匀介质,适用于无自由电荷分布 的均匀介质,介质分界面,静电势/方程边值关系,2.3 拉普拉斯方程,分离变量法 Laplaces equation, method of separate variation,泊松方程,拉普拉斯方程,在一些实际问题中,电荷只存在一些边界区域,在电场所处的空间区域内没有电荷存在.,讨论的问题归结为: 怎样求解(通解)Laplaces equation. 怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。,静电场的电势方程为非齐次的二阶微分方程,一.拉普拉斯方程的球坐标表示及其通解形式,球坐标系微分形式,其通解为:,这里 为缔合勒让德(Legendre)函数,对于
2、球对称的问题,m=0 , n=0。且,这里 为勒让德函数, 、 为待定系数,若系统的问题具有轴对称性,其绕z轴旋转状态不变,所以解与无关 , 取m=0 (取此轴为极轴),二.勒让德函数的基本特性,具有正交归一性,类似于三维空间的任意矢量,都可表示成,7,母函数,三. 求解步骤: 列方程。 根据问题的对称性写通解。 写边界条件和边值关系。 定出常数an ,bn。,四.举例说明定特解的方法 例1一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳,带电荷为Q 。同心地包围着一个半径为R1的导体球(R1R2),使半径R1的导体球接地,求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。 解: 分析题意,找出定解条件。 根据
3、题意,具有球对称性, 电势不依赖于极角 和方位角 , 只与半径r 有关。,1.写方程,2.写通解,(问题具有轴对称性),3写边界条件,球壳为等势体,内导体球接地,(1),(2),10,无穷远处电势为,(自然边界条件),(3),球壳带电Q,作分割后的闭合面有,(4),11,(1),(2),(3),(4),由四个条件对通解定出问题的具体解,12,4.定解,此问题具有球对称性,所以势仅与r无关,即通式中只应取 n=0,(1-1),(2-1),(1),(2),(3),(4),13,求感应电荷,14,例2介电常数为的均匀介质球,半径为R,被置于均匀外场E0中,球外为真空。求电势分布。,1.写方程,2.写通解,(具有轴对称性),15,3写边界条件和边值关系,有限,16,有限,17,4定解,18,5.数学解分析,球内极化电荷削弱了原电场,球内的势与场,球内电场的方向,19,介质球的极化强度,介质球的总偶极矩,偶极矩产生的势可写为,的势+极化电荷的势,介质球外的电势,精品课件资料分享,SL出品,
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