第二节数量积向量积混合积000001.ppt
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1、第二节 数量积 向量积 混合积,一 两向量的数量积,1,常力的功,在物理中我们知道,一物体受常力作用下沿直线从M1 移动,到 M2, S是它位移.则力F所做的功为,根据这个定义,上面讲的功W是力F和位移S的数量积,w=FS,功是个数量,它等于两个向量的模相乘再乘以它们的夹角,的余弦.,2, 数量积的定义,定义1:对任意两个向量a,b,数,a,b的数量积,记作ab,即,称为向量,3, 数量积的主要性质,(3),即向量 a和b相互垂直.,因为ab=|a|b|cos(a,b).|a|0,|b|0,使ab=0只能cos(a,b)=0.,零向量.,(2) ab=0是向量a和b垂直的充分必要条件,这里a,
2、b为非,所以ab=|a|prjab同理: ab=|b|prjba.所以上式成立.,|b|cos(a,b)是b 在a上的投影,即|b|cos(a,b)=prjab.,因为ab=|a|b|cos(a,b)=|b|a|cos(b,a)=ba,(1)ab=|a|Prjab=|b|Prjba,4, 数量积的运算律,5, 数量积的坐标表示式,设,根据数量积的运算律,有,(3)与实数相乘的结合律 (a)b=(ab)=a(b),证明: (a+b)C=|C|Prjc(a+b)= |C|Prjca+ |C|Prjcb=ac+bc,(2)分配律 (a+b)C=aC+bC,证明: 由投影定理ab=|a|Prjab=|
3、a|b|cos(b,a)=|b|Prjba=ba,(1)交换律 ab=ba,在就是两个向量数量积的坐标表示式.,当a,b为非零向量时,有公式,由此可见,两个向量垂直的充要条件是,例1 求向量a=5,2,5在向量b=2,-1,2上的投影.,解:因为 ab=|b|Prjba, 所以,解:,例2 已知三点M1(2,2,2)M2(4,4,2)M3(4,2,4).求向量M1 M2,M1 M3的夹角.,例3 试利用向量的数量积证明三角形,由图可见c = a-b , c2 = (a-b)2 = a2 -2ab+b2,用向量的数量积证明余弦定理比中学里简单.,二, 两向量的向量积,=a2 + b2- 2|a|
4、b|cos即 c2 = a2 + b2- 2|a|b|cos,的余弦定理.,1.引例 转动力矩(向量) M=力臂力F. 方向由转动,法则.,(2) ab垂直于a和b,其指向使三个向量a,b和ab符合右手,(1) |ab|=|a|b|sin(a,b).,定义2 两个向量a和b的向量积是一个向量,记作ab,并规定:,2. 向量积的定义,大拇指的指向.,即当右手的四指从op以不超过的角转向F时握拳时,M的方向垂直于op与力F决定的平面,其指向按右手规则.,|M|=|F|op|sin,方向决定.在力学中,规定力F对支点o的力矩M为,模| ab|的几何意义为以a,b为相邻两边的平行四边形,的面积.,3.
5、 向量积的主要性质,由向量积的定义可以得到如下的性质:,根据这个定义,上面的力矩M是op与F的向量积,即M=opF,反之,如果ab则(a,b)=0或为,即ab=0.,(1)aa=0 因为| aa|=|a|a|sin0=0.,(2)对于两个非零向量a,b.a和b平行的充分必要条件是,ab=0.,因为ab=0,且|a|0,|b|0,必定有sin(a,b)=0,即(a,b)=0,或为,ab,时要特别注意.,4. 向量积的运算规则,(1) b a = -(ab). 这是因为按右手法则,从b转向a和从a转向,b定出的方向相反.它表明交换律对向量积不成立.我们在运算,(b) =(a b),设 a=axi+
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