第2章多自由度系统振动.ppt
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1、第2章 多自由度系统振动,2.1 多自由度系统的自由振动 2.2 动力减振器 2.3 多自由度系统的模态分析方法 2.4 确定系统固有频率与主振型的方法,本章目的: 掌握多自由度系统建模方法,重点是刚度系数法 掌握多自由度振动系统的固有频率、主振型概念 掌握矩阵迭代法、传递矩阵法 掌握多自由度振动系统的模态分析方法 了解动力减振器的基本原理,2.1 多自由度系统的自由振动,1.振动微分方程的建立 2.多自由度系统的固有频率与主振型 3.初始条件和系统响应(模态叠加),(一)多自由度振动微分方程的建立,牛顿运动方程(或达朗伯尔原理) 拉格朗日运动方程 影响系数法 哈密尔顿原理 有限单元法(第9章
2、),1.用牛顿定律建立微分方程,例题1(P24):在不平路面上行驶的车辆的二自由度系统(图)。设刚性杆的质量为m,两端的支承刚度分别为k1、k2 ,杆绕质心G点的转动惯量为J。假设作用在质心G点的激励力为简谐力F和简谐转矩T,则刚性杆不仅沿x方向振动,而且绕其质心扭转振动。,解取刚性杆的广义坐标为,由牛顿定律,系统的振动微分方程为,和,写成矩阵表达式:,即,质量矩阵,刚度矩阵,力列阵,2.用拉格朗日方程建立微分方程,T 为系统的动能 U为系统的势能 qi 为广义坐标 Fi为非有势广义力,拉格朗日方程,讨论:质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系!(P25),和,在两个方程中出现,称为静力参数
3、耦合或弹性耦合。,例题2(P25):用拉格朗日方程方法,列出车辆二自由度系统的动力学微分方程(右图)。,解广义坐标:取C点(G点为质心)的直线位移为 xc 为q1,转角为c为q2 ,此时外力 Fc 和转矩 Tc作用在C点。,另设:,系统的动能:,系统的势能:,利用拉格朗日方程,得,写出矩阵,质量矩阵,讨论:质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系!(P26),为对称阵,刚度矩阵,为对角阵,和,在两个方程中出现,称为惯性耦合。,3.影响系数法,刚度影响系数法 柔度影响系数法,刚度影响系数kij :在系统的 j 点产生单位位移(即 xj=1 ),而其余各点的位移均为零时,在系统的 i点所需要加的力
4、。,刚度影响系数法又成为单位位移法,例如,上图中k11表示在质量 m1 产生单位位移 xl=1,而其它各质量位移均为0时,在质量m1所施加的力。此时,例(P26):质量 m1、m2 、m3 的位移为 x1 、x2 、x3 。列出三自由度系统的动力学微分方程。,解刚度影响系数kij :,动力学微分方程为,则,讨论:(1)如果直接用牛顿定律,可否列出上述方程?! (2)刚度影响系数kij = kji 与刚度矩阵的对称性!(P27),11表示在 m1上作用一个单位力 Fj =1 ,而质量m2、m3 上无作用力时,梁上 m1 处所产生得位移,由材料力学,得,柔度影响系数法又称为单位力法,柔度影响系数i
5、j :在系统的 j 点作用一个单位力(即Fj =1 ),而其余各点均无作用力时,在系统的i点产生的位移。,例(P27):图2-3所示,简支梁上有质量 m1、m2 、m3,不计梁的自重。 的位移为 x1 、x2 、x3 。列出三自由度铅垂方向振动微分方程。,解柔度影响系数 ij :,21表示在m1上作用一个单位力Fj =1 ,而质量m2、m3 上无作用力时,梁上m2处所产生得位移,由材料力学,得,同理,可以求出其他柔度系数。,最后得出总柔度系数矩阵,可以证明,柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵,即,三自由度铅垂方向振动微分方程为,讨论:(1)如果直接用牛顿定律,可否列出上述方程?!难度多
6、大? (2)上述方程为什么不用刚度影响系数法?难度多大?用拉格朗日方程方法? (3)什么时候用柔度影响系数法?什么时候用刚度影响系数法?(P28),结论:(1)对于质量弹簧系统,应用刚度影响系数法较容易 (2)对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 (3)对于杆件机构,应用拉格朗日方程方法较容易,(二)多自由度系统的固有频率与主振型,对于一个多自由度的自由振动系统(以二自由度系统为例),设质量块作简谐振动,即,(2-5),带入(2-5)式,则,上式对于任意时间t 成立,则,振幅列阵,特征方程,(2-6),即为振型,求解二自由度系统的固有频率与主振型,二自由度系统特征矩阵方程的展开式为,(2-
7、7),(2-8),该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零,也可表示为,易解出,得出两个固有频率下的振幅比值,为一阶固有频率(或第一阶主频率),为二阶固有频率(或第二阶主频率),固有频率的大小仅取决于系统本身的物理性质。,将所求得的固有频率,和,代入系统特征矩阵方程,因此,振型可表示为,第一主振型,第二主振型,22方阵,对于 n 个自由度振动系统,由特征方程,可求出 n 个固有频率,其振型可表示为,nn方阵,(三)初始条件和系统响应(模态叠加),以二自由度系统为例,质量块 m1、m2 组成的二自由度振动系统有两组解,而其全解由这两组解叠加而成,即,系统的响应为,引入振型,设初始条件:t
8、=0 时,,推导出,已知:,求:,(2-14),2.2 动力减振器,在工程中,为减少振动带来的危害,可以在主系统上装设一个辅助的弹簧质量系统。该辅助装置与主系统构成一个二自由度系统。该辅助装置能使主系统避开共振区,并有减振效果,故称为动力减振器。,动力减振器与隔振器是本质不同的。,该二自由度系统的动力学微分方程为,采用复数法求解微分方程(参见第1.9节,P20),(2-18),带入(218)式,得,为了比较安装动力减振器前后的减振效果,用减振后主系统的振幅与主系统在激振力幅值 作用下产生的静位移 之比来评价。,(2-20),展开后,求出 B1 ,再将B1的复数值求模,得,静位移为,设,带入(2
9、20)式,得,注意希腊字母 (ksi),原机械固有频率,减振器固有频率,注意:为了工程设计方便,与二自由度系统两阶固有频率概念有别。,注意希腊字母 (ksi),如果,(2-22),则,无阻尼动力减振器的设计讨论,当减振器的固有频率等于激振频率时,即,则,(2-23),达到了消振目的,然而,减振器的引入,却出现了两个新的共振点 :,和,取式(2-23)分母为零(意味着共振),并令,则,即:新的共振频率仅由减振器与主系统质量之比,为使主系统能远离新的共振点的范围内,希望,与,相差较大,一般在设计无阻尼动力减振器时,取,(2-24),理想情况,2.3 多自由度系统的模态分析方法,1.方程的耦合与坐标
10、变换 2.主振型的正交性 3.模态矩阵和模态坐标 4.多自由度系统的模态分析方法 5.模态矩阵正则化 6.振型截断法(Cut Off),1.方程的耦合与坐标变换,回顾(第2.1节P24、P25),(G点为质心)为刚性杆的广义坐标时,有,和,针对行驶车辆的二自由度系统,用牛顿定律,以,用拉格朗日方程,以,和,为刚性杆的广义坐标时,有,称谓弹性耦合,称谓惯性耦合,对于同一系统,采用的坐标系统不同,微分方程的形式和耦合情况就不同。即微分方程的耦合状态是由所选的坐标系统决定的。 如果振动微分方程组的各系数矩阵均为对角阵,各方程间不存在任何耦合,各分别求解,与单自由度求解完全相同。 适当的坐标变换,可以
11、使相互耦合的方程解除耦合,即解耦。,结论,问题,如何进行坐标变换?,仍然采用行驶车辆的二自由度系统图,有如下关系,写成矩阵,对于任意的线性变换可表达为,为变换矩阵,遗憾:前面这个变换矩阵不能达到解耦目的,要做的工作:,寻找一个合适的变换矩阵,使原来方程解耦,结论:,这个变换矩阵,就是主振型矩阵,2.主振型的正交性,与第一式相减,有,以二自由度系统为例,特征方程,或,将两个固有频率和相应振型代入,得,将上式两边分别前乘以,和,将第二式转置,有,主振型的正交性的物理意义:各阶主振型之间的能量不能传递,保持各自的独立性,但每个主振型内部的动能和势能是可以相互转化的(P33),当,时,有,主振型对质量
12、矩阵的正交性,同理可得,主振型对刚度矩阵的正交性,条件:主振型的正交性只有在质量矩阵和刚度矩阵为对称矩阵时才成立,推论:,3.模态矩阵和模态坐标,由主振型,对质量矩阵,和刚度矩阵,的正交性,可使M、K 变为对角矩阵。,以主振型,线性变换矩阵,,对系统的原方程进行坐标变换,设系统原方程为(仍以二自由度为例),主振型,称为模态矩阵或振型矩阵,坐标变换,线性变换矩阵,,为模态坐标,(2-35),代入原方程,并在等号两边分别前乘以,,得,(2-35),为模态质量矩阵,为模态刚度矩阵,为第一、二阶模态质量或主质量,为第一、二阶模态刚度或主刚度,为模态力列阵,理解:,运用主振型的正交性,4.多自由度系统的
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