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1、1,第二章 连续系统的时域分析,2.1 引言,2.2 微分方程的式的建立与求解,2.3 系统的冲激响应,2.4卷积的图解和卷积积分限的确定,2.5卷积积分的性质,2019/4/5,2,2.1 引言,2019/4/5,3,系统数学模型的时域表示,时域分析方法:不涉及任何变换,直接求解系统的微分、积分方程式,这种方法比较直观,物理概念比较清楚,是学习各种变换域方法的基础。,本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。,2019/4/5,4,系统分析过程,经典法:前面电路分析课里已经讨论过,但与(t)有关的问题有待进一步解决 h(t);,卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法),
2、2019/4/5,5,本章主要内容,线性系统完全响应的求解; 冲激响应h(t)的求解; 卷积的图解说明; 卷积的性质; 零状态响应: 。,2019/4/5,6,2.2 微分方程的式的建立与求解,2019/4/5,7,主要内容,物理系统的模型 微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法,复习求解系统微分方程的经典法,2019/4/5,8,许多实际系统可以用线性系统来模拟。 若系统的参数不随时间而改变,则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。,一微分方程的列写,2019/4/5,9,根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 对于电路系统,主要是根据元件特性约束和网络拓扑
3、约束列写系统的微分方程。,元件特性约束:表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。,网络拓扑约束:由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL,KVL。,2019/4/5,10,二求解系统微分方程的经典法,分析系统的方法:列写方程,求解方程。,求解方程时域经典法就是:齐次解+特解。,2019/4/5,11,齐次解: 由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根情况处理方法。,特 解: 根据微分方程右端函数式形式,设含待定系 数的特解函数式代入原方程,比较系数 定出特解。,经典法,全 解: 齐次解+特解,由初始条件定出齐次
4、解 。,2019/4/5,12,我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 , 响应为 时的方程的解,初始条件,初始条件的确定是此课程要解决的问题。,2019/4/5,13,三 零输入响应和零状态响应,起始状态与激励源的等效转换 系统响应划分 对系统线性的进一步认识,2019/4/5,14,1起始状态与激励源的等效转换,在一定条件下,激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。,电容的等效电路,电感的等效电路,2019/4/5,15,2系统响应划分,自由响应强迫响应 (Natural+forced),零输入响应零状态响应 (Zero-input+Zero-state),暂态响
5、应+稳态响应 (Transient+Steady-state),2019/4/5,16,也称固有响应,由系统本身特性决定,与外加激励形式无关。对应于齐次解。,形式取决于外加激励。对应于特解。,(1)自由响应:,强迫响应:,3、各种系统响应定义,2019/4/5,17,是指激励信号接入一段时间内,完全响应中暂时出现的有关成分,随着时间t 增加,它将消失。,由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。,(2)暂态响应:,稳态响应:,2019/4/5,18,没有外加激励信号的作用,只由起始状态(起始时刻系统储能)所产生的响应。,不考虑原始时刻系统储能的作用(起始状态等于零),由系统的外加激励信号产
6、生的响应。,(3)零输入响应:,零状态响应:,2019/4/5,19,系统零输入响应,实际上是求系统方程的齐次解,由非零的系统状态值 决定的初始值求出待定系数。,系统零状态响应,是在激励作用下求系统方程的非齐次解,由状态值 为零决定的初始值求出待定系数。,求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作,所以引出卷积积分法。,4、求解,系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积,即,2019/4/5,20,系统的初始状态为零,激励为单位冲激信号 作用下的响应,用 表示。,2.3 系统的冲激响应,2019/4/5,21,由于冲激函数及其各阶导数仅在t=0处作用,而在t0的区间恒为零。也就是说,激励信号 的作用
7、是在t=0的瞬间给系统输入了若干能量,贮存在系统的各贮能元件中,而在t0系统的激励为零,只有冲激引入的那些贮能在起作用,,因而, 系统的冲激响应由上述贮能唯一地确定。,2019/4/5,22,列微分方程:,一、简单电路可直接计算,2019/4/5,23,上式从 到 取积分,得,电感电流在冲激信号作用下,从零跃变到,由三要素公式得,当 时,,此时电路是一个特殊的零输入响应。,2019/4/5,24,与RL电路相对偶,可得RC电路的冲激响应,2019/4/5,25,二先计算系统的阶跃响应 ,然后利用冲激响应 与阶跃响应 的关系求冲激响应,与 的关系(线性时不变系统),2019/4/5,26,201
8、9/4/5,27,2019/4/5,28,例:如图所示电路,R1=R2=1,c=1F,求阶跃响应和冲激响应,解:先用三要素法求阶跃响应,2019/4/5,29,从波形图上也能得到同样的结论:,2019/4/5,30,三、 从微分方程求解得冲激响应 当已知微分方程时,求解冲激响应有两种方法。,(1)间接法:人为假设描述n阶连续系统的微分方程右侧只有一项,为,则有,2019/4/5,31,当 时,由因果性,为保证等式两边平衡,只能是第n阶导数项包含冲激函数 。而且只有一项。这时,则n-1阶导数项包含 ,而n-2阶导数项包含 ,当 时,由于 将是一个特殊的零输入响应,它取决于 时的n个初始条件。,2
9、019/4/5,32,在t=0处,只有 是不连续的,而其余的如 等都是连续的,因而 的低于n-1阶导数在t=0处是连续的。即,注意: , , , 是一族很有用的函数。,只有,2019/4/5,33,对上述微分方程两边取积分,上式左边只第一项不为零,其他项为零,单位冲激信号引起的t=0+时的n个初始条件为,2019/4/5,34,一、 卷积的图解,能够直观地理解卷积积分的计算过程,有助于确定更为一般的卷积积分的上下限。,进一步加深对其物理意义的理解。,2.4卷积的图解和卷积积分限的确定,2019/4/5,35,4.相乘,5.积分 求函数 的面积。,求响应,必须:,1.换元(t),2019/4/5
10、,36,2019/4/5,37,(1)当-1+t0即t1时,,y(t)=0,移动距离 t 前沿坐标-1+t,两函数无公共的非零区域,2019/4/5,38,2019/4/5,39,2019/4/5,40,2019/4/5,41,解:(1)当t0时,y(t)=0,2019/4/5,42,2019/4/5,43,二、 卷积的另一种计算方法,当被卷积函数中有分段连续函数时, 直接用公式,2019/4/5,44,用图解来说明。,2019/4/5,45,2019/4/5,46,2019/4/5,47,2019/4/5,48,一、 卷积代数,(1)交换律,如,输入和冲激响应的函数表达式互换位置,则零状态响
11、应不变。,2.5卷积积分的性质,2019/4/5,49,证:,2019/4/5,50,(2)分配律,利用卷积的定义比较容易得到,两个子系统并联,2019/4/5,51,2019/4/5,52,两次卷积运算是二重积分,变换积分次序可得。,(3)结合律,两个子系统级联,2019/4/5,53,二、 卷积的微分与积分,(1)卷积的微分性质,2019/4/5,54,(2)卷积的积分性质,(3)卷积的微积分性质,当为正整数时,表示求导数的阶数,当为负整数时,表示求重积分的次数。,2019/4/5,55,注意:应用微积分性质时,被积分的函数应为可积函数,被求导的函数在 处应为零值。,2019/4/5,56
12、,三、 含有冲激函数的卷积,由第二章第二节,任意信号的分解,记为,2019/4/5,57,即:任意函数 与单位冲激函数 的卷积仍为该函数本身。,即:,即:任意函数 与延迟冲激函数 的卷积只是把该函数 延迟了时间 ,而其波形不变。此性质称为冲激函数的重现性。,2019/4/5,58,冲激函数三个常用性质小结:,1.筛选性:(抽样性),2.加权性:,3.重现性:(“照相”),写详细,为,2019/4/5,59,利用微积分性质还可以得到,推广后,有,利用卷积的性质能大大简化卷积计算。,2019/4/5,60,2019/4/5,61,解:这类题只需要画图即可。,2019/4/5,62,2019/4/5
13、,63,解:,2019/4/5,64,2019/4/5,65,2019/4/5,66,2019/4/5,67,2019/4/5,68,例:已知波形如图,求,2019/4/5,69,2019/4/5,70,例:已知波形如图,求,解:直接求卷积比较复杂,利用卷积的性质及函数与冲激函数的卷积较为简便,2019/4/5,71,结果如图所示,2019/4/5,72,2019/4/5,73,2019/4/5,74,解:列电路微分方程,2019/4/5,75,代入数值,代入初始条件,2019/4/5,76,要求零状态响应,须先求得电路的冲激响应,直接法,设,代入微分方程,2019/4/5,77,电路的零状态响应电压,全响应,2019/4/5,78,解:设辅助函数,2019/4/5,79,要求零状态响应,须先求冲激响应,直接法有,2019/4/5,80,代入原微分方程整理得,零状态响应为,2019/4/5,81,最后,介绍 杜阿密尔积分,2019/4/5,82,
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