二章极限与连续.ppt
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1、第二章 极限与连续,1.定义2.1: 按一定顺序排列的一列数 a1,a2,an, 叫做一个数列, 数列中的每一个数叫数列的项, 第 n项 an 叫数列的一般项或通项.简记为 an .数列也可称作整标函数.,因为数列 an= f (n) 可看成是定义在正整数集合上的函数. 当自变量 n 按正整数 1,2,3, 依次增大的顺序取值时, 函数值按相应的顺序排列成一串数:,称为一个无穷数列, 简称数列.,例,(一).数列的有关知识,一. 数列的极限,第一讲 极限的概念,从以上几例可以看出, 随着 n 逐渐增大时, 数列 有着各自的变化趋势. 当 n 无限增大时 , 数列(1)、(5) “无限接近”数
2、0; 数列(2)、(6)、(7) “无限接近” 数1; 数列(3) “无限增大”; 数列(4) 在数 0和 1间摆 动.在几何上, an 表示数轴上一列点,也可以把(n ,an ) 看成平面上的点., ,o,1,数列,o,n,1,n,o,1,1,数 列,o,n,1,1,2, ,1,1,o,o, ,结论 当 n 无限增大时 ,数列的变化趋势有三种情形: an 无限增大; an 的变化趋势不定; an“无限接近”某个常数 A . 此时我们说数列 an 当 n 无限增大时, 以常数 A 为极限.这便是数列极限的直观描述.,o,n,1,1,数列,0, ,1,(二)、数列极限的直观描述,1.直观描述:对
3、于数列,,如果当n 无限增大时,无限接近于一个确定的常数,,则称数列,收敛于,,或称当,趋于无穷大时,数列以,为极限。记作,否则,称数列发散。,2. 上面数列(1), (5)和 (6) 收敛于 0; 数列(2), (7)收敛于1; 数列(3), (4)发散.,3、举例 例1 判断下列数列极限,2、,3、,4、,解:1、,2、,3、,不存在,不存在,4 、,注意: (1)关于”n”无限增大”,所谓无限增大当然是想要多大就有多大,因此有限数列没有极限;另外,无限增大我们还很在乎“增大”,例如 1,2,100000,1/100000,2/100000,3/100000,. 1,1,1,1,.1001
4、,1002,1003,1004, 不管前面的有限项如何,只看后面的无穷项。即不管给一个多么大的N或多么小的N,只要nN后,有f(n)与A无限接近就行了 (2)关于“无限接近”:当然是指an 与,的距离是越来越小,,都成立,要有多小就有多小,换句话说,随便给一个多么小的正数,,(3) “一个确定的常数” 表明数列的极限是唯一的.,(三)、数列极限的N定义,通过上面的讨论,我们可以用数学语言把它叙述出来:,,如果任意给定的正数,,时,, 恒成立,则称数列当,趋于无穷大时,以常数,为极限。,定义2.2: 对于数列,也称数列收敛于A.记,否则,称数列发散。,总存在一个正整数N,当,因不等式 |an-A
5、| N)可改写成 A- N), 则,几何意义,若把 an 看成数轴上的点, 在数轴上任意取定A的 邻域, aN 以后的所有点都落在 A 的 邻域内., ,A+,A,A,(2) 若把 (n,an) 看成平面上的点, 在平面上取两直线y=A 和 y=A+; 当n N时, 所有点 (n,an)都落在两直线所形成的带形区域内.如图,A,A+,A,N,n,o,例2 利用定义证明,证明:要使,,只须,故:任给,,总存在,,当,时,,恒成立,因此,得证。,例3 证明,事实上: 任给,恒成立,得证。,(C为常数),故,数列极限是考察数列在n 这一过程中的变化总趋势(即有无极限). 而对于函数y=(x), 当考
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