第2章连续信号与系统的时域分析.ppt
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1、,第 2 章 连续信号与系统的时域分析,2.0 引 言 2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法,2.0 引 言,信号与系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下,求解系统的输出响应。连续信号与系统的时域分析是指信号与系统的整个分析过程都在连续时间域进行,即所涉及的函数自变量均为连续时间t的一种分析方法。自20世纪60年代以来,随着状态变量概念的引入, 现代系统理论的确立以及计算技术的不断进步,时域分析法正在许多领域获得越来越广泛的应用。,2.1 连续时间基本信号,2.1
2、.1 奇异信号,证明(t)的n次积分为,它是由(t)及其各次积分和各阶导数组成的。自左至右,每一项都是前一项的导数,或者每一项都是后一项的积分。 这样得到的函数族统称为奇异函数。 在连续信号与系统的时域分析中,(t)和(-1)(t)=(t)是经常使用的两种基本信号。,2.1.2 正弦信号,随连续时间t按正弦规律变化的信号称为连续时间正弦信号, 简称正弦信号。数学上,正弦信号可用时间的sin函数或cos函数表示,本书统一采用cos函数。 正弦信号的一般形式表示为,式中,A、和分别为正弦信号的振幅、角频率和初相。,(2.1-1),图 2.1 1 正弦信号,正弦信号是周期信号,其周期T、频率f和角频
3、率之间的关系为,根据欧拉公式,式(2.1 - 1)可写成,2.1.3 指数信号,连续时间指数信号,简称指数信号, 其一般形式为,根据式中A和s的不同取值,具体有下面三种情况。 (1) 若A=a1和s=均为实常数,则f(t)为实指数信号, 即,图 2.1 2 实指数信号,(2) 若A=1,s=j,则f(t)为虚指数信号,即,根据欧拉公式, 虚指数信号可以表示为,表明ejt的实部和虚部都是角频率为的正弦振荡。显然,ejt也是周期信号,其周期T=2/|。,(3) 当A和s均为复数时, f(t)为复指数信号。 若设 A=|A|ej, s=+j 则f(t)可表示为,图 2.1 3 复指数信号实部和虚部的
4、波形,2.2 卷积积分,2.2.1 卷积的定义,设f1(t)和f2(t)是定义在(-,)区间上的两个连续时间信号,我们将积分,定义为f1(t)和f2(t)的卷积 (Convolution), 简记为,即,式中,为虚设积分变量, 积分的结果为另一个新的时间信号。,2.2.2 卷积的图解机理,信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成: 第一步,画出f1(t)与f2(t)波形,将波形图中的t轴改换成轴,分别得到f1()和f2()的波形。 第二步,将f2()波形以纵轴为中心轴翻转180,得到f2(-)波形。 第三步,给定一个t值,将f2(-)波形沿轴平移|t|。在t0时,波形往右移
5、。这样就得到了f2(t-)的波形。 ,第四步,将f1()和f2(t-)相乘,得到卷积积分式中的被积函数f1()f2(t-)。 第五步,计算乘积信号f1()f2(t-)波形与轴之间包含的净面积,便是式(2.2 - 1)卷积在t时刻的值。 第六步,令变量t在(-,)范围内变化,重复第三、四、五步操作,最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。,例 2.2 1 给定信号,求y(t)=f1(t)*f2(t)。,图 2.2 1 f1(t)和f2(t)波形,图 2.2 2 卷积的图解表示,当t0时,f2(t-)波形如图2.2-2(c)所示,对任一,乘积f1()f2(t-)恒为零,故y(t)=0。 当0t3时
6、,f2(t-)波形如图2.2- 2(d)所示。,当t3时,f2(t-)波形如图2.2-2(e)所示,此时,仅在03范围内,乘积f1()f2(t-) 不为零,故有,2.2.3 卷积性质,性质1 卷积代数,卷积运算满足三个基本代数运算律,即 交换律,结合律,分配律,性质2 f(t)与奇异信号的卷积 (1) 信号f(t)与冲激信号(t)的卷积等于f(t)本身,即,(2.2-5),(2) 信号f(t)与冲激偶(t)的卷积等于f(t)的导函数, 即,(3) 信号f(t)与阶跃信号(t)的卷积等于信号f(t)的积分, 即,证 因为,所以,式( 2.2-8)成立,( 2.2-8),性质3 卷积的微分和积分,
7、证,(2) 应用式(2.2 - 8)及卷积运算的结合律, 可得,(3) 因为,同理,可将f2(t)表示为,并进一步得到,当f1(t)和f2(t)满足,对另一个函数进行k次积分的情况,即,性质4 卷积时移,由卷积时移性质还可进一步得到如下推论:,若f1(t)*f2(t)=y(t), 则,式中,t1和t2为实常数。,(2.2-21),例 2.2 2 计算常数K与信号f(t)的卷积积分。 解 直接按卷积定义, 可得,常数K与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍。,如果应用卷积运算的微积分性质来求解,将导致,例 2.2 3 计算下列卷积积分:,解 (1) 先计算(t)*(t)。因为(-
8、)=0,故可应用卷积运算的微积分性质求得,(2) 利用卷积运算的分配律和时移性质, 可将给定的卷积计算式表示为,(3) 由于,因此,可直接利用卷积时移性质得到,图 2.2 3 例2.2 - 3图,图 2.2 4 应用T(t)产生周期信号,例 2.2 4 图2.2 - 5(a)所示为门函数,在电子技术中常称矩形脉冲,用符号g(t)表示,其幅度为1,宽度为,求卷积积分g(t)*g(t)。,解 方法一 图解法。由于门函数是偶函数,故其波形绕纵轴翻转180后与原波形重叠,图中用虚线表示。注意,t=0时,门函数左边沿位于x=-/2位置,右边沿位于x=/2位置,如图2.2 - 5(b)所示。在任一t时刻,
9、移动门函数左边沿位于x=t-/2位置, 右边沿则位于x=t+/2位置,如图2.2 - 5(c)所示。按照图2.2- 5中卷积过程的图解表示,可计算求得:,图 2.2 5 例2.2 - 4方法一图,方法二 应用卷积运算的微积分和时移性质, 可得,图 2.2 6 例2.2 - 4方法二图,2.2.4 常用信号的卷积公式,表 2.1 常用信号的卷积公式,2.3 系统的微分算子方程,2.3.1 微分算子和积分算子,式中,p称为微分算子,1/p称为微分逆算子或积分算子。这样,可以应用微分或积分算子简化表示微分和积分运算。例如:,性质1 以p的正幂多项式出现的运算式,在形式上可以像代数多项式那样进行展开和
10、因式分解。例如:,性质2 设A(p)和B(p)是p的正幂多项式, 则,性质3 微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。例如,由下面方程,不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t)与f(t)之间可以相差一个常数c。 正确的结果应写为,也不能由方程,通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得到y(t)=f(t), 因为y(t)与f(t)之间可以相差ce-at,其正确的关系是,性质4,2.3.2 LTI系统的微分算子方程,对于LTI n阶连续系统,其输入输出方程是线性、常系数n阶微分方程。若系统输入为f(t),输出为y(t), 则可表示为,它代表了系统将输入转变为输出的作用,
11、或系统对输入的传输作用,故称H(p)为响应y(t) 对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子。,图 2.3 1 用H(p)表示的系统输入输出模型,例 2.3 1 设某连续系统的传输算子为,图 2.3 2 例2.3 - 2图,解 选图中右端积分器的输出为中间变量x(t),则其输入为x(t),左端积分器的输入为x(t), 如图所示。写出左端加法器的输出,右端加法器的输出,求得图2.3 - 2系统的微分方程为,写出系统的算子方程,于是,得到系统的传输算子为,2.3.3 电路系统算子方程的建立,表 2.2 电路元件的算子模型,例 2.3 3 电路如图2.3 - 3(a)所示,试写出u1(t)对f(t)
12、的传输算子。,图 2.3 3 例2.3 - 3图,解 画出算子模型电路如图2.3-3(b)所示。由节点电压法列出u1(t)的方程为,所以u1(t)对f(t)的传输算子为,它代表的实际含义是,例 2.3 4 如图2.3 - 4(a)所示电路,电路输入为f(t),输出为i2(t),试建立该电路的输入输出算子方程。,图 2.3 4 例2.3 - 4图,解 画出算子模型电路如图2.3 - 4(b)所示。列出网孔电流方程如下:,该方程组对新设变量而言是一个微分方程组, 可以用代数方法求解,得,2.4 连续系统的零输入响应,2.4.1 系统初始条件,根据线性系统的分解性,LTI系统的完全响应y(t)可分解
13、为零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t),即,分别令t=0-和t=0+,可得,对于因果系统,由于激励在t=0时接入,故有yf(0-)=0;对于时不变系统,内部参数不随时间变化,故有yx(0+)=yx(0-)。因此,式(2.4 - 2)和式(2.4 - 3)可改写为,同理,可推得y(t)的各阶导数满足,2.4.2 零输入响应算子方程 设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p), 且,y(t)和f(t)满足的算子方程为,yx(t)满足的算子方程为,2.4.3 简单系统的零输入响应,简单系统1 若A(p)=p-,则yx(t)=c0et。,此时系统特征方程A(p)=0仅有一个特征根p=。
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