第五章二维随机变量及其分布.ppt
《第五章二维随机变量及其分布.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第五章二维随机变量及其分布.ppt(67页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第五章 二维随机变量及其分布,二维随机变量及分布函数 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量 边缘分布 随机变量的独立性 条件分布,1.1 二维随机变量及分布函数,一般地,如果两个变量所组成的有序数组即二维变量(X,Y),它的取值是随着实验结果而确定的,那么称这个二维变量(X,Y)为二维随机变量,相应地,称(X,Y)的取值规律为二维分布,一、 二维随机变量,5.1 二维随机变量及分布函数,设(X,Y)是二维随机变量, 则称 F(x,y)=PXx,Yy 为(X,Y)的分布函数,或X与Y的联合分布函数,其中x,y 是任意实数.,二、联合分布函数,定义:,注:联合分布函数是事件 Xx与Yy同时发生(
2、交)的概率,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,几何意义,如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面随机点的坐标,那么联合分布函数 F(X,Y)在(X,Y)的函数值就是随机点(X,Y)落在,以为(x,y)右上角拐点的无穷矩形内的概率.,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,对任意的x,y,有 0F(x,y)1; F(x,y)关于x、关于y 单调不减;,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,F(x,y)关于x、关于y 右连续,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,随机点(X,Y
3、)落在矩形区域,的概率,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,注:任何一个二维联合分布函数F(x,y)必具有以 上五条基本性质,还可证明具有以上五条性质的 二元函数F(x,y)一定是某个二维随机变量的分布 函数.即这五条性质是判定一个二元函数是否为 某个随机变量的分布函数的充要条件,例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为,求常数A,B,C.,解:,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称PXxi,Yyjpij ,(i,j1, 2,),为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律,或随机变
4、量X与Y的联合分布律. 可记为 (X,Y)PXxi, Y yj,pij ,(i,j1,2,),,1.二维离散型随机变量定义,若二维随机变量(X,Y).如果它可能取的值是有限个或 可数多个数组对(xi,yj),(i,j1,2, ),则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。,2.联合分布律,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,联合分布律的性质 (1) (2),二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:,0pij1, i, j1, 2, ,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,例2,一口袋中有三个球,它们依次标有数字1,2,2.从这,袋中任取一球
5、后,不放回袋中,再从袋中任取一球.设每,次取球时,袋中各个球被取到的可能性相同.以X,Y分别,记第一次、第二次取得的球上标有的数字.,求:,(1) X,Y的分布律;,(2) P(XY).,解:,P(X=1,Y=2)=(1/3)1=1/3,P(X=2,Y=1)=(2/3)(1/2)=1/3,P(X=2,Y=2)=(2/3)(1/2)=1/3,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,(2),P(XY)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2),=0+(1/3)+(1/3)=2/3,由于事件XY=X=1,Y=1X=2,Y=1X=2,Y=2,且三个事件互
6、不相容,因此,有放回抽取方式,P(X=1,Y=2)=2/9,P(X=2,Y=1)=2/9,P(X=2,Y=2)=4/9,P(X=1,Y=1)=1/9,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,若(X,Y)的分布律为PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2, 则(X,Y)的分布函数为,其中和式是对一切满足xix , yjy求和。,分布律与分布函数的关系,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,例 若(X,Y)的分布律如下表,,Y,X,0 1,0 1/2 0,1 0 1/2,求(X,Y)的分布函数。,解,5.3 二维连续型随机变量,一、二维连续型
7、随机变量及联合密度函数,1.定义:设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有,则称(X,Y)是连续型二维随机变量,函数 f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的(联合)概率密度函数.,2概率密度f(x,y)的性质,5.3 二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变量及联合密度函数,(3).若f(x,y)在点(x,y)连续,则有,(4).设G是xy平面上的一个区域,点(X,Y)落在 G内的概率为:,在几何上z= f(x,y)表示空间的一个曲面。 P(X,Y)G的值等于以G为底,以曲面 z= f(x,y)为顶面的柱体体积。,5.3 二维连续型随机变
8、量,一、二维连续型随机变量及联合密度函数,例3: 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,求:,(1) 常数c;,(2)P(XY).,因此解得,(1) 由性质,得到,c=8,解:,5.3 二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变量及联合密度函数,(2)P(XY)=,=,=,=,=,5.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,(一)均匀分布 定义: 设G是平面上的有限区域,面积为A,若二维 随机向量(X,Y)具有概率密度.,则称(X,Y)在G上服从均匀分布。,5.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,例:设二维随机变量(X,Y)服从区域
9、G上的均匀分布,其中G=0x1,|y|x,求(X,Y)的联合密度函数.,解:,5.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,例:若(X,Y)在D1上服从均匀分布,D1为x轴、y轴及直线y=2x+1所围。求: (X,Y)的概率密度。,解:,5.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,(二)二维正态分布 定义: 若(X,Y)具有概率密度,其中 -0,20 ,|1,则称(X,Y)服从参数为1,2,21,22,的二维正态分布, 记为:(X,Y)N(1,2, 21,22,).,求:(1)PX0,(2)PX1,(3)PY y0,1.随机变量(X,Y
10、)的概率密度为,x,y,D,答: PX0=0,练习,解,续解 .,x+y=3,5.4 边缘分布,一、边缘分布函数,1边缘分布 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数,称 P(Xx)=P(Xx,Y+) (-x+) 为X的边缘分布函数,并记为Fx(x).,2.公式. 由于Fx(x)=P(XxY+)=PXx,Y+ =F(x,+) 同理有 FY(y)=F(+,y).,5.4 边缘分布,一、边缘分布函数,例:,试从联合分布函数F(x,y),求关于X,关于Y的边缘分布函数FX(x),FY(y).,解:,由边缘分布函数的定义我们有,5.4 边缘分布,一、边缘分布函数,例:,已知(X,Y)的分布
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第五 二维 随机变量 及其 分布
链接地址:https://www.31doc.com/p-2524757.html