第五章矩阵.ppt
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1、第五章 矩阵,5.1 矩阵的运算,5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式,5.3 矩阵的分块,5.1 矩阵的运算,学习目标:,掌握矩阵的加法、乘法以及 数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质 2. 能熟练地对矩阵进行运算。 3. 掌握转置矩阵及其运算性质。 4. 掌握方阵的幂、方阵的多项式。,一、认识矩阵,1、定义:设F是数域, 用F的元素 排成的m行n列的数表,二、矩阵的运算,1、定义 (矩阵的数乘) : 给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为,A和B加法定义为:,返回,即:A和B的乘法定义为,4、由矩阵的定义可以看出:,当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时, 两个矩阵才可以相乘。,乘积矩阵AB中第
2、i行第j列的元素 等于矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素乘积之和。简记作前行乘后列。,1、,2、,返回,想一想:,两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗?,矩阵要满足什么条件才能相乘呢?,矩阵的乘法是否满足交换律呢?,1.,2.,3.,三、 矩阵的运算性质,1、矩阵满足如下运算规律(其中A,B,C 均为F上的矩阵,k,l为数域F中的数):,(1) 加法交换律,(2) 加法结合律,(3) 零矩阵,(4) 负矩阵,(5) 数乘结合律,(6) 数乘分配律,(7) 乘法结合律,(8) 乘法分配律,注意: 矩阵的乘法不满足交换律,四、方阵的多项式,1、单位矩阵 :主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为
3、单位矩阵, 记为,或,2、A的方幂:,规定:,3、设,那么,五、矩阵的转置,1、定义: 设,2、转置有下面的性质:,(9),(10),(11),5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式,学习目标 1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别 2 掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。 3 了解初等矩阵与初等变换的关系,一、可逆矩阵的定义,1、定义: A为F上n 阶方阵,若存在n阶方阵B,使 AB = BA = I 称A为可逆矩阵(非奇异矩阵),B称为A的逆矩阵.,(1)例:,A与B互为逆矩阵.,(2)注:有零行或零列的矩阵不可逆.,二、可逆矩阵的性质,1、A可逆,则A的逆矩阵唯一。,
4、证: 设B,C均为A的逆矩阵 ,则 AB = BA =I,AC = CA =I B = BI = BAC =(BA)C = IC = C,证: 注意到 即得.,证:注意到 即得.,4、A可逆,则,3、A,B可逆,则AB也可逆,且 .,三、初等矩阵的定义、性质,1、定义: 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.,(1)例如:,2、定理: 对A作初等行变换相当于用同类型的初等 矩阵左乘A; 对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵 右乘A。,、交换A的i ,j 行相当于用 .,、把A的第i 行乘以数k 相当于用 .,、把A的第j 行乘以k后加到第i 行相当于用 .,3、定理: 初等矩阵
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