二章节矩阵及其运算.ppt
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1、第二章 矩阵及其运算,矩阵概念 矩阵运算 特殊矩阵 逆矩阵 分块矩阵 初等矩阵 矩阵的秩,矩阵的基本概念,一. 历史,“矩阵 (matrix)” 这个 词首先是英国数学家 西尔维斯特使用的.,他为了将数字的矩形 阵列区别于 行 列 式 (determinant)而发明 了这个述语.,英国数学家凯莱 被公认为是矩阵 论的创立者.,他首先把矩阵作为 一个独立的数学概 念, 并发表了一系 列关于这个题目的 文章.,例1. 某厂家向A, B, C三个商场发送四款产品.,甲 乙 丙 丁,单价,重量,二. 实例,例2. 四个城市间的单向航线如图所示.,若用aij表示从i市到j市航线的条数, 则上图信息可表
2、示为,三. 定义,1. mn矩阵,元素(element/entry) aij (1 i m, 1 j n),注: 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都 是实矩阵.,元素都是实数实矩阵(real ),元素都是复数复矩阵(complex ),3. 向量(vector),行向量(column vector) a1, a2, , an,列向量(row vector),第i分量 (ith component) ai (i = 1, , n),n阶方阵: nn矩阵,2. 方阵(square matrix),见例2.,一个11的矩阵 就是一个数,4. 同型(same-sized): 行数相等, 列数也相等
3、,5. 两个矩阵相等(equal),与,同型,与,不同型,A = aijmn与B = bijmn相等:,对1 i m, 1 j n, aij = bij都成立,记为A = B.,大前提: 同型,定义1 设有两个 矩阵 和 ,那么矩阵 与矩阵 的和记作 规定为,1. 矩阵的加法,一、矩阵运算,运算规律 (设 , , 都是 矩阵),其中 , 称为矩阵 的负矩阵.,(1),(2),(3),由此可规定矩阵的减法为,定义2 数 与矩阵 的乘积记作 或,2. 数与矩阵相乘,规定为,运算规律(设 , 都是 矩阵, 是数),(1),(2),(3),(4),(5),当且仅当 或,规定:矩阵 与矩阵 的乘积是一个
4、 矩阵,3. 矩阵的乘法,定义3 设 ,,其中,并把此乘积记作,矩阵的第 行第 列的元 就是 的第 行与 的第 列的乘积,例1,求,解,显然,求 ,并问 是否有意义?,解,显然 无意义,例2,例3,求,解,显然,总之,一般说来,,不过,在有些情况下,也可能有,例如:,即矩阵的乘法不满足交换律,不难验证:,一般地,如果矩阵 , 的乘积与次序无关,即 ,称矩阵 , 可交换,结合律和分配律:,(1),(2),(3),上式称为从变量 , , , 到变 量 , , , 的线性变换.,的线性函数,即,例4 设变量 均可表示成变量,其中 为常数,令,利用矩阵的乘法,则上述线性变换可写成矩阵形式:,利用矩阵的
5、乘法和矩阵乘法的结合律,可以方便地连续施行线性变换,例5 已知两个线性变换,解 上述两个线性变换的系数矩阵分别为,记,则上述两个线性变换可分别写成为 :,于是,即,即,由于矩阵的乘法适合结合律, 所以方阵的幂满足:,设 是 阶方阵,定义,显然, 就是 个 连乘,4. 方阵的幂,其中 为正整数,只有 是方阵时,它的幂才有意义,(1),(2),由于矩阵的乘法不满足交换律,所以对于 同阶方阵 和 ,一般说来,则,仍为一个 阶方阵,称 为方阵 的多项式,n阶单位矩阵,设,为 次多项式, 为 阶方阵,则,其中,例6 设,求,解,因为,用数学归纳法,设,则,故,称为 阶单位矩阵,简记作,记作,二. 特殊矩
6、阵,单位矩阵,特点:,从左上角到右下角的直线(即主对角线)上,的元素都是1,其他元素都是0,即单位矩阵,结论:,的 阶方阵称为对角矩阵,形如,记作,特点:主对角线上以外的元素全是零,对角矩阵,性质:,(1),(2),(3),(4),特别地,主对角线上元素都相等的对角矩阵 称为数量矩阵,即,记作,设 为任一 阶方阵, 为任一 阶数量矩阵,即 阶数量矩阵与任一 阶方阵 相乘可交换,则,当 时,数量矩阵即为单位矩阵,解,其中,显然,定理得到,形如,的矩阵称为上三角矩阵,特点:主对角线的左下方的元素全为零,3.三角矩阵,直接验证可知,类似地,我们同样可以定义下三角矩阵, 也就是:主对角线右上方的元素全
7、为零 矩阵,它具有与上三角矩阵类似性质,例如 :,性质:,(1),(2),(3),(4),4.转置矩阵,证 性质(1)(3)是显然的,这里仅给 出(4)的证明.,设,记,于是按矩阵乘法的定义,有,所以,即,亦即,由(4),根据数学归纳法可证,因此,那么 称为对称矩阵;,则称 为反对称矩阵,设 为 阶方阵,,如果,特点:,对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,即有,反对称矩阵有,该矩阵主对角线上的元素全为0.,如果,对称矩阵和反对称矩阵,反对称矩阵,对称矩阵,形式:,例2,是对称矩阵.,证明 因 是 阶矩阵,且,故 是 阶对称矩阵,同理, 是 阶对称矩阵,是对称矩阵,且,证 首先请注意,是一
8、阶方阵,即一个数,,所以 是对称矩阵.,基本性质:,对称矩阵(其中 为任意常数).,都是,为对称矩阵的,充要条件是,定理 设 , 是两个 阶方阵,则,推论 设 均为 阶方阵,则,6.方阵乘积的行列式,称为矩阵 的伴随矩阵试证,(2)当 时,,例4 阶方阵 的各个元素的代数 余子式 所构成的如下的矩阵,(1),证 (1)设 ,则,于是,类似地,,(2)由(1)且根据本节定理1可知,由于 ,故,在数的乘法中,如果常数 ,则,存在 的逆 : ,使,这使得求解一元线性方程 变得非常简单,对 阶方阵 ,是否也存在着“逆”,即是否存在一个 阶方阵 使,三. 逆矩阵,则称 是可逆的,并把矩阵 称为 的逆矩阵
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- 章节 矩阵 及其 运算
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