第3章Wigner分布.ppt
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1、第3章 Wigner 分布,3.1 Wigner分布的定义 3.2 WVD的性质 3.3 常用信号的WVD 3.4 Wigner分布的实现 3.5 Wigner分布中交叉项的行为 3.6 平滑Wigner分布,3.1 Wigner分布的定义,时频分布分类 线性形式的时频分布: STFT、Gabor变换 及小波变换。 双线性形式时频分布: 是指所研究的信号在时频分布的数学表达式中以相乘 的形式出现两次。又称非线性时频分布。 Wigner分布 及Cohen类分布。,联合Wigner分布定义 令信号 , 的傅立叶变换分别是 , ,那 么 , 的联合Wigner分布定义为: (3.1.1) 信号 的自
2、Wigner分布定义为: (3.1.2) Wigner分布又称WignerVille分布,简称为WVD。 若令 ,则 ,代入(3.1.1)有 (3.1.3),令 , 则式(3.1.1)可变为: 令 ,则上式变为 (3.1.4) 对自WVD,有 (3.1.5) 显然,WVD在时域和频域有非常明显得对称形式。,若令 则 (3.1.6) 显然这是普通的傅立叶变换式,只不过它依赖于时间t。但此 处的 并不是我们以前定义过的相关函数。在时频分 析中,我们称 为瞬时自相关。,32 WVD的性质,的奇、偶、虚、实性 不论 是实信号还是复值信号,其自WVD都是t和 的实函数,即 (3.2.1) 若为 实信号,
3、则 不但是t、 的实函数,还是 的偶函数,即 (3.2.2) 对 , 的互WVD, 不一定是实函数,但具有如下性质: (3.2.3),WVD的能量分布性质,时间边缘(time marginal)性质 令(311)式两边对 积分,有 (3.2.4) 该式表明,信号x(t)的WVD 沿频率轴的积分等于该信号在时刻 的瞬时能量。由此可看出WVD具有能量分布性质。,频率边缘性质 同理,令(3.1.5)式两边同时对积分,有 (3.2.5) 即WVD沿时间轴的积分等于在该频率处的瞬时能量。,(3.2.6) (3.2.7) (3.2.8)即, 在某一时间带内对时间的积分等于信号在该带内的能量,在某一频带内的
4、积分也有着同样的性质。而 在整个平面 上的积分等于信号的能量。由后面的讨论可知, 在平面上某一点的值并不能反映信号的能量,这是因为 有可能取负值。,由WVD重建信号,由(3.1.1)式,我们有 令 这一特定时刻,有 于是 (3.2.9) 若 含有常数的相位因子,如 ,由于 因此由WVD恢复出的 将不会有此相位因子。,WVD的运算性质,移位WVD的移不变性 令 则 (3.2.10) 调制频率调制不变性 令 则 (3.2.11) 移位加调制 令 则 (3.2.12),时间尺度 令 ( 为大于零的常数) 则 (3.2.13) 信号的相乘 令 则 (2.3.14),即 两个信号积的自WVD等于这两个信
5、号各自WVD在频率 轴上的卷积。 这是WVD的一个很好的性质,因为对无限长的信号加窗截短 时,只影响其频率分辨率,而不影响其时域分辨率。 信号的滤波 令 则 (3.2.15),信号的相加 令 , 则 (3.2.16) 即 两个信号和的WVD并不等于它们各自WVD的和 式中 是 和 的互WVD,称之为“交叉项”, 它是引进的干扰。交叉项的存在是WVD的一个严重缺点。 进一步,若令 ,,则 后两项也是交叉项干扰。一般,若会有N个分量,那么这些分量之间共产生 个互项的干扰。,WVD的时限与带限性质,若在 和 时, ,即 是时限的,则对一切 ,有 (3.2.18) 由上述结论,若 , 均是因果信号,及
6、当 时 , 那么 (3.2.19) 若当 和 时, ,即 是带限的,则对一切的t ,有 (3.2.20),解析信号的自WVD,令 是 的Hilbert变换,则 是 的解析信号。由Hilbert变换的性质可知: (3.2.21) 由WVD的带限性质可知,当 时, ,并有 (3.2.22) 将式(3.2.21)代入得: (3.2.23),上式积分号中相当于乘了一个从 至 的矩形窗。由 运算性质5,可得信号x(t)和其解析信号z(t) 的WVD之间的 关系,即 (3.2.24),设信号 可写成解析形式,即 ,其WVD 为 ,则 的瞬时频率和WVD有如下关系: (3.2.25) 群延迟和WVD的关系
7、: (3.2.26),瞬时频率与群延迟,WVD的Parseval 关系,令 和 的WVD分别是 和 ,则 该式又称为Moyals 公式。,两个信号和的WVD有交叉项存在,使得两个信号和的分布已不再是两个信号各自分布的和; 由于WVD是信号能量随时间频率的分布,因此,理论上讲, 应始终为正值,但实际上并非如此。 因为 是 的傅立叶变 换,因此,可以保证始终为实值,但不一定能保证 非负。,WVD的缺点,.常用信号的WVD,几种典型信号的WVD 例3.3.1、令 (3.3.1) 求 。 解:确定对 的积分限,由 得 或 所以 (3.3.2),在时间轴上只在的范围 内有值,在频率轴上是的函数。最大值出
8、现在 处,最大值,图3.3.1 例3.3.1的WVD,例3.3.2 令 ,求 。 解:由定义 即 (3.3.3) 本例的 为一确定性复正弦信号,当然也可以把它看 作一个平稳的随机信号,因此,其WVD与时间 无关。对任 意的时间 , 都是位于 处的 函数。如图3.3.2所 示。,图3.3.2 例3.3.2的WVD,例3.3.3 令 是由三个不同频率的复正弦信号首尾相连而形成的,即 式中 , , 。 为某一基本频率。图3.3.3 是该信号的WVD。由该图可 清楚地看出WVD的时频定 位功能。 注意,三段信号时频分布之间 有交叉项存在。,图3.3.3 例3.3.3的WVD,例3.3.4、 令 ,求
9、。 解: 因为 ,由上例结果及WVD的运 算性质6,有 (3.3.4) 的谱线包含两个分量,它们分别位于 处,因此 可看作两个复指数 的和。但是 的WVD除了在 处各有一个不随时间变化的谱线外,在 处还引入了随时间作 余弦变化的交叉项,且此交叉项的幅度还是真正谱线的两倍。如 图3.3.4所示。图中点 处在频率轴的中点。,图3.3.4 例3.3.4的WVD,例3.3.5 令 (3.3.5) 可求出其WVD为 (3.3.6) 这是一个二维的高斯函数, 且 是恒正的, 如图3.3.5所示。,图3.3.5 例3.3.5的WVD,(a)高斯信号,(b)高斯信号的WVD,如果令 , 则x(t)的谱图 它也
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