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1、,均为连续函数,计算机无法处理。而DFS,均是离散序列,但实际应用周期序列没有信息量,无实,长序列有必然联系。由此引入第四种变换DFT。,际应用价值。但周期序列只有有限个信息量值,与有限,6.2 离散傅里叶变换DFT,虽为离散序列,但其对应的两种变换,ZT,DTFT,因为周期序列与有限长序列有本质的联系,先从有限,长序列的周期展开与周期序列的截短开始。设,是时宽为,的有限长序列,以,为周期将,展开为无重叠的周期序列,可以表示为,(6-12),其中,的周期展开,是,有限长序列,也可以由对周期序列的主值区截短为,得到,表示,由(6-12)、(6-13)式表示,与,的关系为:,的“主值,序列”。,上
2、面两个表示式使用不方便、简洁,可改写为:,(6-13),是,是的周期展开;,是,其中,(6-15),(6-14),运算,为模,(6-16),(6-17),的主值区序列 。,是,的周期展开;,是,之间也可以互相表示为,与,1、离散傅里叶变换DFT定义,如图6-4所示,DFT可按以下思路确定,展开,取主值区(,点)序列,DFT,DFS,DFT,DFS,以上求和都只限于主值区,因而完全适用主值区序列,列的DFT时,不用先求DFS。,均为离散序列,可作数字处理。,与,与,构成有限长序列的DFT对。,长度为 N点的有限时宽序列,,其DFT仍为N点的,频域有限长序列,。,由DFT思路可知DFT与DFS的关
3、系,所以虽然DFT正反,变换都是有限长序列,但隐含着周期性。实际求解序,有限长序列,,,点,2、DFT与ZT、DTFT的关系,比较以上三式我们有,是Z变换在单位圆上的等间隔取样。又因为单位圆,上的ZT= DTFT,所以,,也是其傅氏变换的等间隔,取样,取样间隔为,,即,此式表示,是频域取样序列。,频域采样序列,复频域采样序列,其进行时域采样,在满足奈奎斯特条件下不丢失信息,时域采样定理告诉我们:一个频带有限的信号可以对,可由其,采样值确定,即也可以对它进行频域采样。,DFT实现了频域取样,使频域信号离散化,适合数字技,术处理。频域取样的有关内容在后面还要详细讨论。,现在DFT有表明:一个时宽有
4、限的信号,的,、,。,例6-3 已知,,求,2,0,解,1,0,1,0,2,1,的,、,。,例6-4 已知,,求,解,1,0,2,1,0,2,1,2,1,由上两例可知,取得越大,计算量越大,一般正比,用对,若仅改变采样频率,时域为,不会改变。,频率间隔,点,频域也为,点,,不变时,当,是取样的频率间隔。,的图示形式。,补零的方法,可以提供较密的频谱和较好,例6-4中,如例6-3中,有限时宽,6.3 DFT性质,1、线性,有限时宽,点,变换对的点数应相同,短序列可补零。,其中,2、循环移序(圆周移序)性,(1)、循环移位序列,仍为主值区序列 。,或0移入。保证,一端,端移出时,它又从另,从区间的
5、0或,在于当,的线性移序不同。不同之处,与,这样构成的,2,3,1,1 2,0,3 2 1 0 1 2 3 4 ,3 2 1 0 1 2 3 4 ,顺时针,(2),(0),(1),3 2 1 0 1 2 3 4 ,逆时针,3,3,2,1,1,2,1 2,0,3 2 1 0 1 2 3 4 ,(2),(0),(1),(2)、循环移序性,证明,利用周期序列的移位特性,DFS,DFT,同理得反变换的循环移序性,若,则,若,则,3、圆周(循环)卷积定理,a线性卷积,b周期卷积,式中,有限长序列,点,,点,,,还可记为,(1)圆周(循环)卷积定义,点周期卷积后取主值区,序列。,作,循环卷积与周期卷积的区
6、别:,循环卷积是以N点展开, N是可变的,可与,不同,方法1、,例6-5,N=3,求,解,2、2X0=0,1、2X1=2,3、2X2=4,方法2、循环卷积圆周法,1、1X0=0,2、1X2=2,3、1X1=1,1、3X2=6,2、3X1=3,3、3X0=0,方法3、利用线性卷积,3 1 1 0 2,3 1,4 6 2,6 2,8 5 5,比较可见,利用线性卷积计算循环卷积比前两种方法,都简便。,4 3 5 6,例6-6 已知,、,同上,求,,,解,N=4 。,,,周期卷积定理,(2)循环卷积定理,线性卷积定理,若,则,若,则,复卷积定理,若,则,若,则,循环卷积定理,4、共轭序列的DFT,是否
7、有,?,令,或,证明,为什么不能直接,?,因为,外,与它的变换都是主值区序列, 而除,可以看出,第二种表示不太严格,在主值区内,在主值区内,超出主值区,是实序列,特别的,当,外,其余两两相等。根据这个性质,求实序列的,除,DFT时,可减少近一半的工作量。,同理可得,共轭对称、反对称分量,(1)圆周共轭对称、反对称分量,N点,5、序列圆周共轭对称性,(2)圆周共轭对称、反对称分量的DFT,同样,利用时频对称性,可以得到频域圆周共轭对称分量,与圆周共轭反对称分量,及时频对称关系。,频域圆周共轭对称、圆周共轭反对称分量满足下面关系,频域圆周共轭对称与圆周共轭反对称分量的IDFT为,上两式从DFT时频对应关系上说明,频域,共轭对称分量对应时域序列,的圆周,的实部,频域,的圆周共轭反对称分量对应时域序列,的虚部。,1),(3)、性质,是指左半圆序列与右半圆序列共轭对称,即,2),是指左半圆序列与右半圆序列共轭反对称,即,特别的,实序列的DFT是圆周共轭对称的,纯虚序列的DFT是圆周共轭反对称的,利用对称性就可以得到另一半,在这两种情况下,只要知道一半数目的,N点,应用,用一个N点的DFT计算两个N点实序列的DFT,N点,N点,共需复数乘法数,
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