多元函数的极限与连续.ppt
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1、1,数学分析,多元函数的极限与连续,重极限与累次极限,浙江师范大学数学系,2,复习,二元函数极限的定义,3,例1 讨论函数,等值图,解,当点(x,y)沿任何直线趋于原点时,,但是,当点(x,y)沿抛物线 y=k x2(0k1)趋于点(0,0)时,,当 时的极限.,总有,有,4,例2 设,图像,证,作极坐标变换 x= rcos , y= rsin . 由于,什么值都有| f(x,y)-0| ,不论 取,因此,对,5,例3 讨论函数,函数图像,等值图,分析:,则有,f(x,y)=f(rcos,rsin),当 =0, /2, ,3/2 时,上式的值为0;,当 取任一给定的且不等于k/2(k=0,1,
2、2,3)的值时,,总有:,作极坐标变换 x = rcos ,y = rsin ( ),当 时的极限.,6,|f(rcos,rsin)|,下面我们对例2和例3中的过程作一个比较.,|f(rcos,rsin)|,对例2,用 “ ” 语言表示为:,恒有,对例3,用 “ ” 语言可表示为:,对,7,解,当(x,y)沿抛物线x=ky2趋于点(0,0)时,f(x,y)=f(ky2,y),当 k=1和k=2时,上式的值分别是,因此,,8,注:,() 求二元函数极限的一般思路是转化为,一元函数的极限来处理.,() 极坐标变换是转化为一元函数极限的常用方法之一,,但要注意的是:极限,必须关于 一致成立.,9,二
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