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1、第4章 数值积分与数值微分,4.1 引言 4.2 牛顿柯特斯公式 4.3 复化求积公式 4.4 龙贝格求积公式 4.5 高斯求积公式 4.6 数值微分,本章基本内容,进行计算,但在工程计算和科学研究中,经常会遇到被积函数f(x)的下列一些情况:,4.1 引 言,实际问题当中常常要计算积分,有些数值方法,如微分方程和积分方程的求解,也都和积分计算相联系.,(4) f(x)本身没有解析表达式,其函数关系由表格或图形给出,列如为实验或测量数据.,(2) f(x)的原函数不能用初等函数形式表示,例如,(3) f(x)的原函数虽然可用初等函数形式表示,但其原函数表示形式相当复杂,例如,(1) f(x)复
2、杂,求原函数困难,列如,以上的 4种情况都不能用牛顿莱布尼兹公式方便地计算该函数的定积分,满足不了实际需要,因此,有必要研究定积分的数值计算问题;另外,对一些函数的求导问题,其求导、微分也相当复杂,也有必要研究求导、微分的数值计算问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的方法。,由积分中值定理, 对连续函数f(x), 在区间a, b内至少存在一点,使,只要对平均高度 f() 提供一种近似算法, 便可相应地获得一种数值求积方法. 即所谓矩形公式.,4.1.1 数值求积的基本思想,几何图形见书p119.,例如, 用区间a, b两端点的函数值 f(a)与f(b)的算术平均值作为f() 的近似值, 可
3、导出求积公式,这便是人们所熟知的梯形公式.,如果改用区间a, b的中点 c=(a+b)/2 处的函数值f(c)近似代替f(), 则又可导出所谓(中)矩形公式,一般地, 在区间a, b上适当选取点xk (k=0,1,n), 然后用 f(xk) 的加权平均值作为f() 的近似值, 可得到更为一般的求积公式,其中:点xk叫求积节点, 系数Ak叫求积系数. Ak仅与节点xk的选取有关, 而与被积函数 f(x)无关.,求积公式的截断误差为,R(f) 又称为求积余项.,这类数值积分方法通常称为机械求积,其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算,这就避开了牛-莱公式寻求原函数的困难.,4.1.2 代数精度的
4、概念,定义1 如果求积公式,(1) 对所有次数不超过m的多项式都精确成立; (2) 至少对一个m+1次多项式不精确成立, 则称该公式具有m次代数精度.,数值求积方法的近似方法,为要保证精度,我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立,这就提出了所谓代数精度的概念.,一般来说,代数精度越高,求积公式越好。,定理1 一个求积公式具有m次代数精度的充要条件是该求积公式: (1) 对xk(k=0,1,m)精确成立; (2) 对xm+1不精确成立.,故一般地,要验证一个求积公式具有m次代数精度,只要令对于 f(x)=1, x, , xm求积公式精确成立等式就行.,解 当 f (x)=1时,此时
5、公式精确成立。,当 f(x)=x时,,公式也精确成立。,当 f(x)= x2 时,,公式对x2不精确成立.,故由定理1知, 梯形公式的代数精度为1次.,对于求积公式,给定n+1个互异的求积节点 x0 , x1, xn-1, xn , 令求积公式对 f(x)=1, x, , xn 精确成立,即得,求解该方程组即可确定求积系数Ak, 所得到的求积公式至少具有n 次代数精度.,例2 确定求积公式中的待定系数,使其代数精度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精度.,解 令 f (x)=1, x, x2 代入公式两端并令其相等,得,解得,得求积公式为,令 f (x)=x3,得,令 f (x)=x4,得,故
6、求积公式具有3次代数精度.,如果我们事先选定求积节点xk,譬如,以区间a, b的等距分点作为节点,这时取m=n求解方程组即可确定求积系数Ak,而使求积公式至少具有 n次代数精度. 本章第2节介绍这样一类求积公式,梯形公式是其中的一个特例.,如为了构造出上面的求积公式,原则上是一个确定参数xk和Ak的代数问题.,4.1.3 插值型求积公式,设给定一组节点,且已知f(x)在这些节点上的函数值 f(xk), 则可求得f(x)的拉格朗日插值多项式(因为Ln(x)的原函数易求),其中lk(x)为插值基函数, 取,由上式确定系数的公式称为插值型求积公式。,即,则 f (x)Ln(x),由插值余项定理, 其
7、求积余项为,其中=(x),如果求积公式是插值型的,按照插值余项式子,对于次数不超过n的多项式f(x),其余项 R(f )等于零,因而这时求积公式至少具有n次代数精度.,反之,如果求积公式至少具有n次代数精度,则它必定是插值型的. 事实上,这时求积公式对于插值基函数 lk(x)应准确成立,即有,注意到lk(xj)=kj,上式右端实际上即等于Ak,因而下面式子成立.,结论1 具有n+1个节点的数值求积公式,是插值型求积公式的充要条件为: 该公式至少具有n次代数精度。,综上所述,我们有结论为,这时令f(x)=1代入又有结论为,结论2 对插值型求积公式的系数必有,其中h=max(xi-xi-1),则称
8、求积公式Akf(xk)是收敛的.,4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性,定义2 在求积公式Akf(xk)中,若,在求积公式Akf(xk)中,由于计算f(xk)可能产生误差k,实际得到 ,即 . 记,如果对任给小正数0,只要误差|k|充分小就有,它表明求积公式Akf(xk)计算是稳定的,由此给出,成立,则称求积公式Akf(xk)是稳定的,,证明 对任给0,若取=/(b-a), 对所有k都有,故求积公式是稳定的.,定理2 若求积公式Akf(xk)中所有系数Ak0,则此求积公式是稳定的.,则有,4.2 牛顿柯特斯公式,为便于上机计算,通常在内插求积公式中我们通常取等距节点,即将积分区间a,b划分n等
9、分,即令步长h=(b-a)/n,且记x0=a, xn=b,则节点记为xk=x0+kh(k=0,1,n),然后作变换: t=(x-x0)/h, 代入求积系数公式,将会简化计算.,4.2.1 牛顿柯特斯公式,设将积分区间a, b划分成 n等分,步长h=,求积节点取为xk=a+kh (k = 0,1,n),由此构造插值型求积公式, 则其求积系数为,引入变换 x = a + th, 则有,(k=0,1, n),(k=0,1, n),记,(k=0,1,n),则,于是得求积公式,称为n 阶牛顿-柯特斯 (Newton-Cotes)公式, 称为柯特斯系数。,显然, 柯特斯系数与被积函数 f (x) 和积分区
10、间a,b无关, 且为容易计算的多项式积分.,常用的柯特斯系数表,当n=1时,柯特斯系数为,这时的牛顿-柯特斯公式为一阶求积公式,就是我们所熟悉的梯形公式,即,当n=2时,柯特斯系数为,相应的牛顿-柯特斯公式为二阶求积公式,就是辛普森(simpson)公式(又称为抛物形求积公式),即,式中,(k=0,1,2,3,4),h=(b-a)/4.,n = 4 时的牛顿-柯特斯公式就特别称为柯特斯公式. 其形式是,在柯特斯系数表中(见书p124)看到n 7时,柯特斯系数出现负值,于是有,特别地,假定,则有,这表明在b-a1时,初始误差将会引起计算结果误差增大,即计算不稳定,故n 7的牛顿-柯特斯公式是不用
11、的.,因为牛顿-柯特斯公式对 f (x) = 1精确成立, 即,由此可得,设 f (xk) 有误差 k ,则计算误差为,另一种写法:,只要f (xk) 取得足够精确,初始数据的误差对计算结果影响不大,方法是稳定的。,当 全为正时 ,从而,当 有正有负时 ,因为,而 可能会很大, f (xk) 可以取得足够精确,但初始数据的误差对计算结果影响会很大,方法可能是不稳定的。,4.2.2 偶数求积公式的代数精度,作为插值型求积公式,n阶牛顿-柯特斯公式至少具有n次代数精度(推论1). 实际的代数精度能否进一步提高呢?,先看辛普森公式,它是二阶牛顿-柯特斯公式,因此至少具有二次代数精度. 进一步用f(x
12、)=x3进行检验,按辛普森公式计算得,另一方面,直接求积得,这时有S=I,即辛普森公式对不超过三次的多项式均能精确成立,又容易验证它对f(x)=x4通常是不精确的(如取a=0,b=1进行验证有,S=5/24I=1/5),因此,辛普森公式实际上具有三次代数精度.,一般地,我们可以证明下述论断:,定理3 n 阶牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为,证明 由推论1已知,无论n为奇数或偶数,插值型求积公式都至少具有n次代数精度. 因此我们证明n为偶数的情形,即对n+1次多项式余项为零.,令n=2k,设,为任一n+1次多项式,其最高次系数为an+1,则它的n+1阶导数为,由余项公式,有,这里变换为x=a+t
13、h,注意xj=a+jh.,下面我们证明,作变换u=t-k,则,容易验证(u)为奇函数,即(-u)=-(u),而奇函数在对称区间上的积分为零,所以,定理3说明,当n为偶数时,牛顿-柯特斯公式对不超过n+1次的多项式均能精确成立,因此,其代数精度可达到n+1.正是基于这种考虑,当n=2k与n=2k+1时具有相同的代数精度,因而在实用中常采用n为偶数的牛顿-柯特斯公式,如抛物形公式(n=2)等.,4.2.3 几种低阶求积公式的余项,首先考察梯形公式,设 f(x)C2a,b ,按余项公式有,这里函数(x-a)(x-b)在区间a,b上保号(非正),应用积分中值定理,在a, b内至少存在一点,得梯形公式余
14、项为,再研究公式辛普森公式的余项R=I-S,为此构造次数不超过3的多项式H(x),使满足,这里c=(a+b)/2. 由于辛普森公式具有三次代数精度,它对于这样构造出的三次多项式是精确成立的,即,而利用插值条件知,上式右端实际上等于按辛普森公式求得的积分值S,因此积分余项为,这里(x-a) (x-c)2(x-b)在区间a,b上保号(非正),应用积分中值定理,得辛普森公式余项为,对于插值多项式H(x),设 f(x)C4a,b ,由插值余项表达式得,就有,关于柯特斯公式的积分余项,这里不再具体推导,仅给出结果如下,若 f(x)C6a, b,则柯特斯公式余项为,解 :由梯形公式得,由辛普森公式得,例题
15、 分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算积分,由柯特斯公式得,积分的精确值,4.3 复化求积公式,从求积公式的余项的讨论中我们看到,被积函数所用的插值多项式次数越高,对函数光滑性的要求也越高.另一方面,插值节点的增多(n的增大),在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n8时, 牛顿-柯特斯求积系数会出现负数),即牛顿-柯特斯公式是不稳定的,不可能通过提高阶的方法来提高求积精度.,为了提高精度,通常在实际应用中往往采用将积分区间划分成若干个小区间,在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或抛物形公式),然后再利用积分的可加性,把各区间上的积分加起来,便得到新的求积公式,这就是复化
16、求积公式的基本思想. 为叙述方便,我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复化求积公式对各小区间也可分别采用不同的求积公式,也可推出新的求积公式,读者可按实际问题的具体情况讨论.,将积分区间a, bn等分, 步长,xk=a+kh (k=0,1,n) , 则由定积分性质知, 分点为,每个子区间上的积分,用低阶求积公式, 然后把所有区间的计算结果求和,就得到整个区间上积分I的近似值。,所用方法:,4.3.1 复化梯形公式,每个子区间xk, xk+1上的积分用梯形公式, 得,将积分区间a, b划分为n等分, 则,若 f(x)C2a,b, 其求积余项Rn(f )为(p128),称为复化梯形公式.
17、记,当n时,上式右端括号内的两个和式均收敛到函数的积分,所以复化梯形公式收敛. 此外,Tn的求积系数均为正,由定理2知复化梯形公式是稳定的.,可以看出误差是h2阶,且由误差公式得到,当f(x)C2a, b 时,则有,即复化梯形公式是收敛的. 事实上只要f(x)Ca, b, 则可得到收敛些,因为只要把Tn改写为,4.3.2 复化辛普森公式,每个子区间x2k, x2k+2上的积分用辛普森公式, 得,将积分区间a, b 划分为2n等分, 则,称为复化辛普森公式. 记,若 f(x)C 4a,b, 其求积余项为,例1 对于函数f(x)=sinx/x,给出n=8的函数表,试用复化梯形公式和复化辛普森公式
18、计算积分,解 将积分区间0,1划分为8等分,用复化梯形公式求得,而将积分区间0, 1划分为24等分,用复化辛普森公式求得,比较上面两个计算结果T8与S4,它们都需要提供9个点上的函数值,然而精度却差别很大,同积分准确值I=0.9460831比较,应用复化梯形公式计算的结果T8=0.9456909只有2位有效数字,而应用复化辛普森公式计算的结果S4= 0.9460832却有6位有效数字.,为了利用余项公式估计误差,要求f(x)=sinx/x的高阶导数,由于,所以有,于是,复化梯形公式误差为,复化辛普森公式误差为,例2 利用复化梯形公式计算 使其误差限为10-4,应将区间0, 1几等分?,解 利用
19、例1的结果,取n=17可满足要求.,由复化梯形公式的余项得,例3 利用复化辛普森公式计算 使其误差限为10-4,应将区间0, 1几等分?,由复化辛普森公式的余项得,因此只需将区间0, 1二等分,即取m=1(n=2).,解 利用例1的结果,前面用复化梯形公式计算此题,满足相同的精度需要将区间0, 1划分17等分,可见复化辛普森公式的精度的确比复化梯形公式精度高同样也可用 | S4m-S2m | 来控制计算的精度. 这就是下面要介绍的龙贝格求积公式.,4.4 龙贝格求积公式,4.4.1 梯形法的递推化,上节介绍的复化求积方法可提高求积精度,实际计算时若精度不够可将步长逐次分半. 设将区间 a, b
20、分为n等分,共有n+1个分点,如果将求积区间再分一次,则分点增至2n+1个,我们将二分前后两个积分值联系起来加以考虑. 并注意到每个子区间xk, xk+1经过二分只增加了一个分点,设hn=(b-a)/n, xk=a+khn (k=0,1,n),在xk, xk+1,上用梯形公式得,在xk, xk+1上用复化梯形公式得,所以,从0到n-1对k累加求和得,这就是递推的复化梯形公式.,从这一公式可以看出,将区间对分后,原复化梯形公式的值Tn作为一个整体保留. 只需计算出新分点的函数值,便可得出对分后的积分值,不需重复计算原节点的函数值,从而减少了计算量.,参见书p132-例2题.,4.4.2 龙贝格算
21、法,梯形法计算简单但收敛慢,如何提高收敛速度以节省计算量是本节要讨论的中心问题. 根据复化梯形公式的余项式表达式可知,设f (x)在a, b上变化不太大f (1) f (2), 则得,由此可见,只有二分前后的两个积分值Tn与T2n相当接近,就可以保证计算结果T2n的误差很小. 这样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差的事后估计法,上面就是复化梯形法的事后误差估计式.,由 可知积分近似值T2n的误差大致等于 ,因此如果用这个误差值作为T2n的一种补偿,可以期望,所得到的,可能有更好的结果.,由书例2,所求得的两个梯形值T4=0.9445135和T8=0.9456909的精度都很差(与准确值
22、I=0.9460831比较,只有两、三位有效数字),但如果将它们按上式做线性组合,则新的近似值,却有6位有效数字.,可以直接验证,就是复化辛普森积分公式. Sn的精度为O(h4).,这就是说,用复化梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n ,按上式做线性组合,结果得到了复化辛普森积分公式.,则,同理由辛普森法,用二分前后的两个积分值Sn与S2n,由误差公式即有,不难直接验证就是复化柯特斯积分公式. Cn的精度为O(h6).,则,同理由柯特斯法,用二分前后的两个积分值Cn与C2n,由误差公式即有,这就是复化龙贝格积分公式. Rn的精度为O(h8).,一般我们将这种龙贝格算法做成表格,我们在变步长的
23、过程中运用了三个公式,就能将粗糙的梯形值Tn 逐步加工成精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn.,见书p135例题3.,例4 利用龙贝格方法计算,这一结果与I=相比较已有较好的精度.,解 计算结果列如下表:,4.4.3 理查森外推加速法,上面讨论说明由梯形公式出发,将区间a, b逐次二分可提高求积公式的精度,上述加速过程还可继续下去,其理论依据是梯形公式的余项展开,设,若记Tn=T(h),当区间a, b划分为2n等分时,则有,并且有,可以证明梯形公式余项可展开成级数形式,即,定理4 设f(x)Ca, b,则有,式中I为积分值,系数k与h 无关.误差量级为O(h2).,此定理可利用f
24、(x)的泰勒展开推导得到,证略.,定理4表明T(h)I是O(h2)阶,若h/2用代替h, 有,用4乘此式,减去上式再除3记为T1(h),则得,改记为,这里系数k与h无关,这样构造的T1(h)与积分值I近似的阶为O(h4).,比较T1(h)与Sn可知, 这样构造的序列T1(h),T1(h/2),.就是辛普森公式序列Sn, S2n,.,根据,令,则又可进一步从余项展开式中消去h4项, 从而有,这样构造出的T2(h),其实就是柯特斯公式序列,它与积分值I的逼近阶为O(h6). 如此推下去,每加速一次,误差的量级便提高2阶,速度较快,一般地,若记T0(h)=T(h),则有,误差量级为O(h6),误差量
25、级为O(h4),如此继续下去,可得,用m(h)作为I 的近似值, 误差量级为O(h2(m+1).,经过m(m=1,2,)次加速后,余项便取下列形式用:,这种处理方法通常称为理查森(Richardson)外推加速方法.,即,又称为逐次分半外推加速求积法,简称外推加速法. 也称为龙贝格求积算法.,以0(k)表示二分k次后求得的梯形值, 以m(k)表示序列0(k)的m次加速值,,龙贝格求积算法的计算过程如下:,(1) 取k=0,h=b-a,求,令1k(k记区间 a, b的二分次数).,(2) 求值 ,按梯形递推公式计算0(k) .,(3) 求计算值,按加速公式逐个求出数表的第k行其余各元素j(k-j
26、) (j=1,2,k).,(4) 若|k(0) -k-1(0)|(预先给定的精度),则终止计算,并取k(0)I; 否则令k+1k转(2)继续计算.,数表,注意计算顺序,第k步子区间长度为h=(b-a)/2k.,可以证明,如果f(x)充分光滑,那么T数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值I,即,对于f(x)不充分光滑的函数也可以用龙贝格算法计算,只是收敛慢一些,这时也可以直接使用复化辛普森公式计算,见书p138-例4.,4.5 高斯求积公式,由前面的讨论已经知道,以a=x0x1xn=b为节点的N-C求积公式的代数精度一般为n或n+1,这时节点简单地按照闭区间等距的方式确定。,对一个求积
27、公式而言,如果不固定节点的位置,在节点数目不变的情况下,代数精度能否提高,最多能达到多少?,这里高斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的求积公式.,4.5.1 一般理论,前面给出的机械求积公式,含有2n+2个待定参数xk,Ak(k=0,1,n). 当xk为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为n次,如果适当选取xk(k=0,1,n),有可能使求积公式具有2n+1次代数精度,这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式. 为使问题更具一般性,我们研究带权积分,这里为(x)权函数,类似的求积公式为,在这个求积公式里Ak(k=0,1,n)为不依赖于f(x)的求积系数, xk(k=0,1,n)为求积
28、节点,可适当选取xk及Ak(k=0,1,n)使(5.1)式具有2n+1次代数精度.,定义4 如果求积公式(5.1)具有2n+1次代数精度,则称其节点xk(k=0,1,n)称为高斯点,相应公式(5.1)称为高斯(Gauss)求积公式.,根据定义要使 (5.1)具有2n+1次代数精度,只要取f(x)=xm,对m=0,1,2n+1,精确成立,则得,当给定权函数(x),求出右端积分,则可由(5.2)式解得xk及Ak(k=0,1,n).,见书p140-例5.,从此例看到求解非线性方程组(5.2)较复杂,通常n2就很难求解,故一般不通过解方程(5.2)求解xk及Ak(k=0,1,n),而从分析高斯点的特性
29、来构造高斯求积公式.,定理5 对插值型求积公式,与一切次数不超过n的多项式P(x)带权(x)正交, 即,节点xk (k=0,1,2,n) 是高斯点的充要条件是这些节点为零点的多项式,证明 (必要性) 设P(x)Hn, 则P(x)n+1(x)H2n+1, 因此,如果xk (k=0,1,2,n)是高斯点,则求积公式(5.1)对于P(x)n+1(x)精确成立,即有,因n+1(xk)=0 (k=0,1,2,n),故(5.5)式成立.,(充分性) 对任意f(x)H2n+1, 用n+1(x)去除 f(x), 则可表示成,其中,q(x)为商式,r(x)为余式,q(x),r(x)均为不超过n次的多项式,于是有
30、,由(5.5)式有,于是有,由于(5.1)是插值型求积公式,故对r(x)Hn精确成立,再注意到在节点处n+1(xk)=0 (k=0,1,2,n),知道有等式r(xk)= f(xk) (k=0,1,2,n),从而有,可见积分公式(5.1)对一切次数不超过2n+1的多项式均精确成立. 因此, xk(k=0,1,2,n)为高斯点. 证毕.,定理表明在a, b上带权(x)的n+1次正交多项式的零点就是求积公式(5.1)的高斯点,有了求积节点xk(k=0,1,n),再利用(5.2)对m=0,1,n成立,则得到一组关于求积系数Ak(k=0,1,n)的线性方程. 解此方程则得Ak(k=0,1,n). 也可直
31、接由xk(k=0,1,n)的插值多项式求出求积系数Ak(k=0,1,n).,下面讨论高斯求积公式(5.1)的余项. 利用f(x)在节点xk(k=0,1,n)的Hermit插值H2n+1(x),即,于是有,两端乘(x),并由a到b积分,则得,其中右端第一项积分对2n+1次多项式精确成立,故,由于20,故由积分中值定理得到(5.1)的余项为,高斯求积公式的稳定性与收敛性,定理6 高斯求积公式(5.1)的求积系数Ak(k=0,1,n)全是正的.,证明 考察基函数,它是n次多项式,因而lk2(x)是2n次多项式,故高斯求积公式(5.1)对于它能精确成立,即,注意到lk(xi)=ki,上式右端实际上即等
32、于Ak,从而有,由本定理及定理2,得到,定理7 设f(x)Ca, b,则高斯求积公式(5.1)是收敛的,即,推论 高斯求积公式(5.1)是稳定的.,证明见1.,4.5.2 高斯勒让德求积公式,高斯-勒让德(Gauss-Legendre)求积公式是古典的高斯求积公式,通常就叫做高斯求积公式. 它是在 (5.1)中取区间为-1, 1,权函数为(x)1的勒让德多项式所建立的高斯公式. 则公式为,我们知道勒让德多项式是区间-1, 1上的正交多项式,因此,勒让德多项式Pn+1(x)的零点就是求积公式的高斯点.,若取P1(x)=x的零点x=0做节点构造求积公式,令它对f(x)=1准确成立,即可定出A0=2
33、. 这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式是中矩形公式.,再取,的两个零点,构造求积公式 即,令其对f(x)=1, x 精确成立, 有,解出 A011, 从而得到代数精度为3的两点高斯勒让德求积公式,三点高斯勒让德求积公式的形式是,其它的高斯勒让德求积公式的形式根据常用高斯勒让德求积公式的节点和系数表,自己可以写出来.,常用高斯勒让德求积公式的节点和系数表,公式(5.9)的余项由(5.8)得到,这里是 最高项系数为1的勒让德多项式,由第三章的一些性质得到,在区间a, b上的高斯勒让德求积公式,作变量替换,然后再用-1,1上的高斯勒让德求积公式,得,这就是中矩形公式,例如, 用一点高斯勒让德公式有
34、,用两点高斯勒让德公式有,例6 利用两点Gauss-Legendre 求积公式计算,参见书p146-例6.,4.5.3 高斯切比雪夫求积公式,高斯-切比雪夫求积公式是在高斯求积公式(5.1)中取区间为-1, 1(即a=-1,b=1),权函数为,由于切比雪夫多项式是区间-1, 1上的正交多项式,因此求积公式(5.12)的高斯点是n+1次切比雪夫多项式的零点,即为,所建立的高斯公式. 为,通过计算(见2)可知(5.12)的系数为,使用时将n+1个节点改为n个节点,于是高斯-切比雪夫求积公式写成,公式的余项由(5.8)可算得,参见书p147-例7.,高斯-拉盖尔(Gauss-Laguerre)求积公
35、式 该公式以0,+)区间上,关于权函数(x)=e-x的拉盖尔多项式,为正交多项式系Lk(x)(其中L0(x)=1),求积节点xk和系数Ak可由数学手册的表上查得.,其它的高斯求积公式还有,使用不同的n值,下列对n=2,3,4,5的计算结果列于下表,例7 利用Gauss-Lagurerre 求积公式计算,Gauss-Lagurerre 求积公式截断误差为:,(I的精确值为0.5),高斯-埃尔米特(Gauss-Hermite)求积公式 该公式以(-,+)上关于权函数(x)=e-x2的埃尔米特多项式,为正交多项式系Hk(x)(其中H0(x)=1),求积节点xk和系数Ak可由数学手册的表上查得.,高斯
36、埃尔米特求积公式截断误差为:,使用不同的 n 值,下列对n=2,3,4,5的计算结果列于下表,例8 利用 Gauss-Hermite 求积公式计算,I 0.560 202 28,本章介绍的几种求积方法各具特点:,(1) 梯形和抛物形求积公式是低精度的方法,但对于光滑性较差的被积函数有时效果比用高精度的方法还好,再加上公式简单,因而使用非常广泛.特别在计算机上,复化的梯形公式和抛物形公式便于采用逐次对分的方法,计算程序十分简单.,(2) 龙贝格求积方法,其算法简单,程序也便于实现,且当节点加密时,前面的计算结果直接参与后面的计算,因而大大减少了计算量. 此方法的一个最大缺点是节点的增加是成倍的.
37、,(3) 高斯型求积公式,该方法是最高代数精度的求积方法,但它的节点和求积系数都没有规则,当节点增加时,前面的计算结果不能被利用,只能重新计算.因此上机计算时,需要事先输入节点数和各种高斯型求积公式的节点与系数表.它的最大优点是适用于某些无穷区间上的广义积分的计算.,4.6 数值微分,4.6.1 中点方法与误差分析,数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值. 按导数定义可以简单地用差商近似导数,这样立即得到几种数值微分公式.,前点公式 误差阶O(h);,后点公式 误差阶O(h);,中点公式 误差阶O(h2). (6.1),其中h为一增量,称为步长,中点公式是前两个公式的算术平均.
38、但它的误差却由O(h)提高到O(h2). 上面给出的三个公式是很实用的,尤其是中点公式更实用.,为了利用中点公式,计算导数f(a)的近似值,首先必须选取合适的步长,为此需要进行误差分析,分别将f(ah)在x=a处做泰勒展开有,代入上式得,因此得知,从截断误差的角度看,步长越小,计算结果越准确. 且,其中,再考虑舍入误差,按中点公式计算,当h很小时,因f(a+h)与f(a-h)很接近,直接相减会造成有效数字的严重损失. 因此,从舍入误差的角度来看,步长是不宜太小的.,例如, 用中点公式求f(x)=x1/2在x=2处的一阶导数.,设取4位数字计算(导数的准确值f (a)=0.353553),计算结
39、果见表4-8,表 4-8,从表4-8中看到h=0.1的逼近效果最好,如果进一步缩小步长,则逼近效果反而越差. 这是因为当f(a+h)与f(a-h)分别有舍入误差1及2,若令两误差绝对值最大为=max|1|,|2|,则计算f (a) 的舍入误差上界为,它表明h越小,导数的舍入误差(f(a)越大,故它是病态的. 用中点公式计算f (a)的误差上界为,要使误差E(h)最小,步长h不宜太大,也不宜太小. 其最优步长应为,4.6.2 插值型的求导公式,对于列表合适y=f(x):,运用插值原理,可以建立插值多项式y=Pn(x)作为f(x)的近似. 由于多项式的导数比较容易,我们取Pn(x)的值作为f(x)
40、的近似值,这样建立的数值公式,统称为插值型的求导公式.,必须指出,即使f(x)与Pn(x)的值相差不多,导数的近似值 Pn(x)与导数的真值 f(x)仍然可能差别很大,因而在使用求导公式时应特别注意误差的分析.,利用插值多项式求导数的方法,f(x)在这些点上的函数值为 f(xk), 插值多项式为Pn(x),则,设,这是在节点xk处导数的近似值,误差为,因为在节点xk处有,所以在节点xk处求导有,是可以进行估计的,但是对任一非节点x处的导数误差f(x)-Pn(x)是无法估计的,应为我们无法对余项中的一项,做出进一步的说明.,下面我们仅仅考察节点处的导数. 为简化讨论,假定所给的节点是等距的.,1
41、. 两点公式(n=1),设已给出两个节点x0, x1上的函数值f(x0), f(x1),做线性插值公式,对上式两端求导,记x1-x0 =h,有,于是有下列求导公式,而利用余项公式(6.4)知,带余项的两点公式是,2. 三点公式(n=2),设已给出三个节点x0, x1=x0+h, x2=x0+2h上的函数值f(x0), f(x1), f(x2),做二次插值公式,令x=x0+th,上式可表示为,上式两端对t求导,有,上式右端的导数表示对x求导数,上式分别取t=0,1,2,得到三种三点公式为,而带余项的三点公式如下:,其中的公式(6.6)是我们所熟悉的中点公式. 在三点公式中,它由于少用一个函数值f
42、(x1)而引人注目.,用插值多项式Pn(x)作为f(x)的近似函数,还可以建立高阶数值微分公式:,例如,将式(6.5)再对t求导一次,有,令t=1,于是有,而带余项的二阶三点公式如下:,4.6.3 利用数值积分求导,微分是积分的逆运算,因此可利用数值积分的方法来计算数值微分. 设f(x)是一个充分光滑的函数,设(x) =f(x), xk=a+kh, k=0,1,n, h=(b-a)/n,则有,对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的数值微分公式. 例如对积分用中矩形公式,则得,从而得到中点微分公式,若对(6.8)右端积分用辛普森求积公式,则有,上式略去余项,并记(xk)=f(xk)的近似
43、值为mk,则得到辛普森数值微分公式,这是关于m0,m1, mn这n+1个未知量的n-1个方程组,若m0=f(x0), mn=f(xn)已知,则可得,这是关于m1, mn-1的三对角方程组,且系数矩阵为严格对角占优的,可用追赶法求解(见第5章5.4节).,如果端点导数值不知道,那么对(6.9)中第1个和第n-1个方程可分别用f(x1) 及f(xn-1)的中点微分公式近似,即取,然后求m2 , mn-2即为f(x2),f(xn-2)的近似值.,参见书p155-例8.,4.6.4 三次样条求导,三次样条函数S(x)作为f(x)的近似,不但函数值很接近,导数值也很接近,并有,(见第2章定理4),利用三次样条函数S(x)直接得到,根据第2章(7.8),(7.9)可求得,这里fxk, xk+1为一阶均差. 其误差由(6.10)可得,4.6.5 数值微分的外推算法,利用中点公式计算导数值时,对f(x)在点x做泰勒级数展开有,其中i(i=1,2,)与h无关,利用理查森外推(见本章第4节)对h逐次分半,若记G0(h)=G(h),则有,公式(6.11)的计算过程见书p156表4-10.,根据理查森外推方法,(6.11)的误差为,由此看出当m较大时,计算是很精确的. 考虑到舍入误差,一般m不能取太大.,参见书p157-例9.,
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