第十章点估计.ppt
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1、第十章 点估计,估计问题 估计方法 点估计的优良性,第十章 点估计,在实际问题中,经常遇到随机变量X(即总体X)的分布 函数的形式已知,但它的一个或者多个参数未知的情形, 此时写不出确切的概率密度函数.若通过简单随机抽样,得 到总体X的一个样本观测值,我们自然会想到利用这一组数 据来估计这一个或多个未知参数.诸如此类,利用样本去估 计总体未知参数的问题,称为参数估计问题. 参数估计问题有两类,分别是点估计和区间估计.而参 数估计是统计推断的一个重要组成部分,可以这样说统计 推断的基本问题可以分为两大类: 一是参数估计问题, 二 是假设检验问题。,第十章 点估计,这里所指的参数是指如下三类未知参
2、数: 1.分布中所含的未知参数。如:两点分布B(1,p) 中的概率p ,正态分布 中的,2、分布中所含的未知参数 的函数。 如:服从正态分布 的变量不超过给定值的概率 是未知参数, 的函数;单位产品的缺陷数通常服从泊松分布 ,则单位产品合格(无缺陷)的概率 是未知参数 的函数。,3、分布的各种特征数也都是未知参数。如:均值 ,方差 ,分布的中位数等等。,第十章 点估计,参数估计,点估计 区间估计,估计未知参数的值,估计未知参数的取值范围,并使此范围包含未知参数的真值的概率为给定的值,第十章 点估计,如何构造统计量并没有明确的规定,只要它满足一定的合理性即可。这就涉及两个问题:,如何给出估计,即
3、估计的方法问题; 如何对不同的估计进行评价,即估计的好坏判断标准。,第一节 点估计问题,设总体X的分布函数 (x,)是已知的 ,是未知的分布参数,参数的所有可能取值组成的集合称为参数空间,常用表示,参数估计问题就是根据样本对上述未知参数做出估计。当X为离散时,(x,)为分布律;当X为连续时,(x,)为密度函数,设 是来自总体 的一个样本,所谓统计模型,即样本 的联合分布。由于样本是独立同分布的故可一般地表述统计模型为:,第一节 点估计问题,例 某种同型号产品个,其合格率未知,对该批产品作质量检验,从中随机抽取件()当第次抽到的产品为合格时,记,反之记 则 就是样本总体分布为二点分布 ,参数空间
4、 ,容易得到统计模型,例 一批灯管寿命服从指数分布E(), 0 未知,从中随机抽取n支, 为其寿命,则统计模型为,其中 只取大于0的实数值,第一节 点估计问题,在统计模型(1)中,若知道,就完全知道了总体的分 布,因此在模型(1)下,统计推断的对象或者说各种统计 推断问题都是同这个未知参数有关。,注意: 虽然g()已知的函数,但未知,因而函数值g() 是未知的,假设模型(1)及有一个同有关的指标,=g() , 可以是向量值。我们的问题是:基于样本 ,估计g() 。,其中参数(,2),参数空间 ,估计对象是中的一个分量,令g()= ,是一个定义在上的已知函数,问题是:基于 ,由此估计未知函数值g
5、() .,第一节 点估计问题,例3 :对某地区中学生做身高调查,假定身高X服从正态分布N(,2),其,2中均未知,调查目的是为了了解该地区中学生的平均身高.今从中抽取n个人。测得其身高 ,由此估计平均身高,该问题的模型是:,第一节 点估计问题,例4(续例3) 要在该地区中学生中挑选生排球队员, 标准是其身高必须高于1.90m.问题是估计中选率.,由正态分布性质,可将表示成如下的的已知函 数形式:,其中 是标准正态分布函数,这个函数在未知参 数 处的值正是要估计的对象.,第一节 点估计问题,点估计的思想方法: 设总体的分布函数的形式已知,但含有一或多个未知参数: 。设 为总体的一个样本,构造个统
6、计量,随机变量,第一节 点估计问题,当测得样本值 时,代入上述方程组,即 可得到个数:,数 值,程数 为未知参数 的估计值 对应统计量为未知参数 的估计量,统计估计沿用以下规则:若 的一个估计,则 的估计自动地被估计为 ,称这一规则为估计的自助程序。,的估计为 ,的估计为S ,则的估计是,第一节 点估计问题,说明: 1.给出 ,等同于给出的一种估计规则(估计程 序), 有了观 察数据,如何算出估计值. 2.估计量不必唯一,同一参数可以构造不同的统计量用以估计. 因此有一个估计量好环的比较评价估计量好环的准则.,例如在例4中,第二节 估计方法,两种常用的构造估计量的方法:,一.矩估计法,定义:用
7、样本矩来代替总体矩,从而得到总体分布中参数的一种估计.这种估计方法称为矩估计法.它的思想实质是用样本的经验分布和样本矩去替换总体的分布和总体矩.也称之为替换原则. 特点:不需要假定总体分布有明确的分布类型。,矩估计法 极大似然估计法,第二节 估计方法,设总体X具有已知类型的概率函数f(x;),=(1,k) 是k个未知参数.(X1,X2,Xn)是来自总体X的一个样本.假 若X的k阶矩k=E(Xk)存在,则对于ik, E(Xi)都存在,并且 是(1,k)的函数i(1,k).,得到含有未知参数(1,k)的k个方程.解这k个联立方程 组就可以得到(1,k)的一组解:,第二节 估计方法,用上面的解来估计
8、参数i就是矩法估计.,第二节 估计方法,例: 设总体X服从泊松分布,参数未知, 是来自总体的一个样本,求参数的矩估计量.,解:总体X的期望为,从而得到方程,所以的矩估计量为,110,184,145,122,165,143,78,129,62, 130,168,第二节 估计方法,例5 设有一批同型号灯管,其寿命(单位:h)服从参数为的指数分布,今随机抽取其中的11只,测得其寿命数据如下:,用矩估计法估计值。,解:设X为灯管的寿命,则,的矩估计,已知n=11,,的观察值为,因而的估计值为:,第二节 估计方法,例6 设总体X有均值和方差 ,今有6个随即样本 的观察数据为:-1.20,0.82,0.1
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