教学目的及基本要求正确掌握并理解数列函数极限的概.ppt
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1、教学目的及基本要求: 1.正确掌握并理解数列,函数极限的概念.收敛数列的 性质.,第二章 极限与连续 2.1 极限,2.能够应用 语言处理数列极限的一些 问题。 3.会运用四则运算定理证明 重点与难点:数列。函数极限的概念。 课时:4学时,2.1.1 数列极限 一般地, 我们把按一定顺序排列的无穷多个数称为一 个数列. 例如,(1) (2) (3) (4),都是数列. 通常也把数列写成,数列中的每一个数叫做数列的项. 第n项 叫做数列的通,项或一般项. 因此, 数列可用通项简记为 .,上述数列(1)(4)的通项分别为,对于数列, 我们主要关注的是当它的项数 无限增大时它的 变化趋势. 例如,当
2、 无限增大时, 数列(1)中的数也随着无限 增大; 数列(2)却变得越来越小而接近于0; 数列(3)在1与-1之 间交替取值; 数列(4)不随变化而恒为 . 为此, 我们引入数 列收敛的定义.,定义1 如果当 时, 数列 无限接近于一个常数 ,则称数列 为收敛数列, 称为 时的极限, 记 为 . 不收敛的数列称为发散数列.,显然, 这个定义是十分粗糙的, 因为没有说明 时 与常数A无限接近的精确含义是什么. 通俗地讲, 所谓 “ 时 与常数A无限接近”指的是当项数 充分大 时, 与常数A的距离无限小,也就是 的值可以小于 任何指定的正数.,例如, 对于数列 , 如果我们指定它与0的距离小于 ,
3、 则只要 时就有 ,如果指定它与0的距 离小于 ,则只要 就有 ,同理, 若指定它与0的距离小于 , 则只要 , 就 有 ,因此, 时与常数A无限接近”的精确含义就是: 对于 无论多么小的正数 ,可以选择一个充分大的自然数N, 使得从N以后数列的所有项,都满足,于是我们重新给出数列收敛的精确定义. 定义2 当 时,有,例1:证明 . 分析:对于 要使得 ,只须 即可满足要求. 证: , 当 时,有,故,收敛数列 有如下简单性质: (i) 的极限是唯一的. (ii) 为有界数列,即 ,对于一切 均 有 . 推论: 无界数列一定发散,注: 数列收敛一定有界, 但反之有界数列不一定收敛. 例如 是有
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