第四节有理函数的积分.PPT
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1、,第四节 有理函数的积分,一、有理函数的积分,二、三角函数有理式的积分,三、简单无理函数的积分,四、小结 思考题,1.【有理函数】,两个多项式的商表示的函数称之.,一、有理函数的积分,2. 【真分式与假分式】 假定分子与分母之间没有公因式,称这有理函数是真分式;,3.【假分式分解】利用多项式除法, 假分式可以化成一,【例】,【难点】,将有理函数化为部分分式之和.,称这有理函数是假分式。,个多项式和一个真分式之和.,分母中若有因式 ,则,4.【有理函数化为部分分式之和的一般规律】,【特殊地】,分解后为,分母中若有因式 ,其中 ,则,特殊地:,分解后为,5.【待定系数法】真分式化为部分分式之和的方
2、法,对未知的因子用假定的字母表示,然后运用恒等关系来求出假设字母近而确定未知的因子。,分子为单字母因子,【方法1】恒等式法(比较系数法),并将A、B值代入(1),代入特殊值(赋值)来确定系数,取,取,取,【方法2】特殊值法(赋值法),整理得,分子含两个字母二项因子,【例1】,【解】,6.【有理真分式的积分】,【例3】求积分,【解】,【例2】求积分,【解】,【例4】,求积分,【解】,由于分母是二次质因式,而分子是一次式,含有x项,而xdx能凑成 ,所以首先用凑微分法.,【分析】,【说明】,将有理函数化为部分分式之和后,只出现三类情况:,多项式;,【例5】,【解】,.【三角有理式的定义】,由三角函
3、数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之,二、可化为有理函数的积分举例,(万能置换公式),一般记为,1、三角有理式的积分,.【三角函数有理式的积分】,【方法】作代换化为有理函数积分,【例5】求积分,【解】,由万能置换公式,【例6】 求积分,【解】,【解】,修改万能置换公式,令,【解】,可以不用万能置换公式,用凑微分法,【总结】,比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.,【讨论类型】,【解决方法】,作代换去掉根号.化为有理函数的积分.,【例10】求积分,【解】令,2.简单无理函数的积分,【例11】求积分,【解】 令,【说明】,2.若被积函数含有简单根式 或,时,,可以令,或,这样的变换具有反函数,且反函数是u 的有理函数,因此原积分可化为有理函数的积分.,1.无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.,【例12 】 求积分,【解】,先对分母进行有理化,原式,该题先有理化,再凑微分,避免了变量代换化为有理式的积分所带来的麻烦.,简单无理式的积分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,(注意:必须化成真分式),三角有理式的积分.(万能置换公式),(注意:万能公式并不万能),四、小结,(方法:去根号),【思考题】,将分式分解成部分分式之和时应注意什么?,【思考题解答】,分解后的部分分式必须是最简分式.,
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