概率0000.ppt
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1、第一节 数学期望,离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习 小结 布置作业,在前面的课程中,我们讨论了随机变量及其分布,如果知道了随机变量X的概率分布,那么X的全部概率特征也就知道了.,然而,在实际问题中,概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中,人们并不需要知道随机变量的一切概率性质,只要知道它的某些数字特征就够了.,因此,在对随机变量的研究中,确定某些数字特征是重要的 .,在这些数字特征中,最常用的是,数学期望、方差、协方差和相关系数,一、离散型随机变量的数学期望,1、概念的引入:,我们来看一个引例.,例1 某车间对工人的生
2、产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢?,我们先观察小张100天的生产情况,若统计100天,32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,这个数能否作为 X的平均值呢?,(假定小张每天至多出现三件废品 ),可以想象,若另外统计100天,车工小张不出废品,出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同,这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.,n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.,可以得到
3、n天中每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说, 若统计n天 ,这是 以频率为权的加权平均,当N很大时,频率接近于概率,所以我们在求废品数X 的平均值时,用概率代替 频率,得平均值为,这是 以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X 的平均值 .,定义1 设X是离散型随机变量,它的分布率是: PX=xk=pk , k=1,2,请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.数学期望简称期望,又称为均值。,若级数,绝对收敛,,则称级数,即,的和为随机变量X的数学期望,记为 ,例1,例2,一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
4、,例3 按规定,某车站每天8:009:00,9:0010:00 都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者 到站的时间相互独立。其规律为:,二、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量,其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2 ,则X落在小区间xi, xi+1)的概率是,小区间xi, xi+1),阴影面积近似为,由于xi与xi+1很接近, 所以区间xi, xi+1)中的值可以用xi来近似代替.,这正是,的渐近和式.,该离散型r.v 的数学期望是,由此启发我们引进如下定义.,定义2 设X是连续型随机变量,其密度函数为 f (x),如果积分,绝对收敛,则称此积分值为X的
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