概率与统计.ppt
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1、概率与统计,开课系:理学院 统计与金融数学系 课程主页: http:/ 教师: 陈萍 e-mail: Probstat ,教材:概率与统计陈萍 等编 科学出版社2002,参考书:1.概率论与数理统计 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社 2. 概率论与数理统计三十三讲 魏振军 编 中国统计出版社,序 言,?,概率论是研究什么的?,随机现象:不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,第一章 随机事件及其概率,随机事件及其运算 概率的定义及其运算 条件概率 事件的独立性,1.1随机事件及其概率 一、随机试验(简称“试验”),随机试验的特点(p2) 1.可在相同条件下重复进行
2、; 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表为E,E1: 抛一枚硬币,分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次,考虑正反面出现的情况; E3:将一枚硬币连抛三次,考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子,考虑可能出现的点数; E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数; E6:在一批灯泡中任取一只,测其寿命; E7:任选一人,记录他的身高和体重 。,随机实验的例,随机事件,二、样本空间(p2),1、样本空间:实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间,记为S=e; 2、样本点: 试验的每一个结果或样
3、本空间的元素称为一个样本点,记为e. 3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为e.,EX 给出E1-E7的样本空间,幻灯片 6,随机事件,1.定义 (p3定义1.1.2) 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 2.两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.(p3) 例如 对于试验E2 ,以下A 、 B、C即为三个随机事件: A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, THH,HTT,THT,TTH; B=“两次出现同一面”=HHH,TTT C=
4、“恰好出现一次正面”=HTT,THT,TTH 再如,试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时” x:1000xT(小时)。,三、事件之间的关系,可见,可以用文字表示事件,也可以将事件表示为样本空间的子集,后者反映了事件的实质,且更便于今后计算概率 还应注意,同一样本空间中,不同的事件之间有一定的关系,如试验E2 ,当试验的结果是HHH时,可以说事件A和B同时发生了;但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。易见,事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的,这种关系可以用集合之间的关系来描述。,1.包含关系(p4)“ A发生必导致B发生”记为AB AB AB且BA.,2.和事件: (p4)“事件
5、A与B至少有一个发生”,记作AB,2n个事件A1, A2, An至少有一个发生,记作,3.积事件(p4) :A与B同时发生,记作 ABAB,3n个事件A1, A2, An同时发生,记作 A1A2An,4.差事件(p5) :AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生,思考:何时A-B=?何时A-B=A?,5.互斥的事件(p5) :AB ,6. 互逆的事件(p5) AB , 且AB ,五、事件的运算(p5),1、交换律:ABBA,ABBA 2、结合律:(AB)CA(BC), (AB)CA(BC) 3、分配律:(AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC) 4、对偶(De Morga
6、n)律:,例:甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标,试用A、B、C的运算关系表示下列事件:,1.2 概率的定义及其运算,从直观上来看,事件A的概率是指事件A发生的可能性,?,P(A)应具有何种性质?,?,抛一枚硬币,币值面向上的概率为多少? 掷一颗骰子,出现6点的概率为多少? 出现单数点的概率为多少? 向目标射击,命中目标的概率有多大?,(p6)若某实验E满足 1.有限性:样本空间Se1, e 2 , , e n ; 2.等可能性:(公认) P(e1)=P(e2)=P(en). 则称E为古典概型也叫等可能概型。,1.2.1.古典概型与概率,设事件A中所含样
7、本点个数为N(A) ,以N(S)记样本空间S中样本点总数,则有,P(A)具有如下性质(P7),(1) 0 P(A) 1; (2) P()1; P( )=0 (3) AB,则 P( A B ) P(A) P(B),古典概型中的概率(P7):,例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,N(S)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,N(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,二、古典概型的几类基本问题,乘法公式:设完成一件事需分两步, 第一步有n1种方法,第二
8、步有n2种方法, 则完成这件事共有n1n2种方法,复习:排列与组合的基本概念,加法公式:设完成一件事可有两种途径,第一种途径有n1种方法,第二种途径有n2种方法,则完成这件事共有n1+n2种方法。,有重复排列:从含有n个元素的集合中随机 抽取k 次,每次取一个,记录其结果 后放回,将记录结果排成一列,,n,n,n,n,共有nk种排列方式.,无重复排列:从含有n个元素的集合中随机抽取k 次, 每次取一个,取后不放回,将所取元素排成一列,,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,组合:从含有n个元素的集合中随机抽取k 个, 共有,种取法.,1、抽球问题
9、例1:设合中有3个白球,2个红球,现从合中任抽2个球,求取到一红一白的概率。 解:设A-取到一红一白,答:取到一红一白的概率为3/5,一般地,设合中有N个球,其中有M个白球,现从中任抽n个球,则这n个球中恰有k个白球的概率是,在实际中,产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出,而不必过多的交代实际背景。,2、分球入盒问题 例2:将3个球随机的放入3个盒子中去,问: (1)每盒恰有一球的概率是多少? (2)空一盒的概率是多少?,解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒,一般地,把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm),则每盒至多
10、有一球的概率是:,P9,某班级有n 个人(n365), 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大?,?,3.分组问题 例3:30名学生中有3名运动员,将这30名学生平均分成3组,求: (1)每组有一名运动员的概率; (2)3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组,一般地,把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰 有ni个球(i=1,m),共有分法:,4 随机取数问题,例4 从1到200这200个自然数中任取一个, (1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率,解:N(S
11、)=200,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25,某人向目标射击, 以A表示事件“命中目标”, P(A)=?,?,定义:(p9) 事件A在n次重复试验中出现nA次,则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中 出现的频率,记为fn(A). 即 fn(A) nA/n.,1.3 频率与概率,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时,出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069
12、 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,频率的性质 (1) 0 fn(A) 1; (2) fn(S)1; fn( )=0 (3) 可加性:若AB ,则 fn(AB) fn(A) fn(B).,实践证明:当试验次数n增大时, fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A), 作为事件A的概率,1.3.2. 概率的公理化定义,注意到不论是对概率的直观理解,还是频率定义方式,作为事件的概率,都应具有前述三条基本性质,在数学上,我们就可以从这些性质出发,给出概率的公理化定义,1.定义(p10) 若对随机试验E所
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