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1、Ch1-39,1.3 频率与概率,设在 n 次试验中,事件 A 发生了m 次,,则称 为事件A发生的频率,Ch1-40,频率的性质,事件 A, B互斥,则,可推广到有限个两两互斥事件的和事件,Ch1-41,投一枚硬币观察正面向上的次数,n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰( Buffon )投币,皮尔森( Pearson ) 投币,Ch1-42,例 Dewey G. 统计了约4
2、38023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同:,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,Ch1
3、-43,概率的 统计定义,在相同条件下重复进行的 n 次,试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一,常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越,小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).,优点:直观 易懂,缺点:粗糙 模糊,不便 使用,Ch1-44,设 是随机试验E 的样本空间,若能 找到一个法则,使对于E 的每一事件 A 赋 于一个实数,记为P ( A ), 称之为事件 A 的 概率,这种赋值满足下面的三条公理:,非负性:,归一性:,可列可加性:,其中 为两两互斥事件,,概率的 公理化定义,公理化定义,Ch1-45,概率的性质,若,Ch1-46,对任意两个事件A, B, 有
4、,B,B=AB+(B A),P(B)=P(AB)+ P(B A),Ch1-47,加法公式:对任意两个事件A, B, 有,推广:,Ch1-48,一般:,右端共有 项.,Ch1-49,例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王,解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”,(1),(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率,(2),(3),例1,Ch1-50,课后同学问:,例1 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为
5、0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 ?,若是的话, 则应有,而现在题中并未给出这一条件.,在1.4中将告诉我们上述等式成立的,条件是 :事件 相互独立.,Ch1-51,例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下, P(AB) 取得最大(小)值? 最大(小)值是多少?,解,最小值在 时取得, 最小值, 最大值,最大值在 时取得,例2,Ch1-52,课上有同学提问,最小值是否正确?,例2 中回答当 时, 取得,这相当于问如下命题是否成立,答:不成立 !,式是“羊肉包子打狗 ”有去路,没回路,为什么呢?学了几何概型便会明白.,
6、Ch1-53,设 随机试验E 具有下列特点:,基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生,则称 E 为 古典(等可能)概型,古典概型中概率的计算:,记,则,概率的 古典定义,古典概型,1.4 等可能(古典)概型,Ch1-54,例3 袋中有a 只白球,b 只红球,从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球( ), 求其中恰有 k 个( )白球的概率,解 (1)不放回情形,设 E: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放在一边,重复 m 次,记事件 A 为m个球中恰有k个白球,则,例3,Ch1-55,则,Ch1-56,又解 设 E1: 一次取 m 个球, 记下颜色,记事件 A 为 m 个球中有 k 个
7、白球,则,不放回地逐次取 m 个球, 与一 次任取 m 个球算得的结果相同.,因此,称 超几 何分布,Ch1-57,(2)放回情形,E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去, 重复 m 次,记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则,称二项分布,Ch1-58,设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中( ), 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:,(1)某指定的 k 个盒子中各有一球;,(4)恰有 k 个盒子中各有一球;,(3)某指定的一个盒子没有球;,(2)某指定的一个盒子恰有 m 个球( ),(5)至少有两个球在同一盒子中;,(6)每个盒子至多有一个球
8、.,例4 (分房模型),例4,Ch1-59,解,设 (1) (6)的各事件分别为,则,Ch1-60,例5 “分房模型”的应用,生物系二年级有 n 个人,求至少有两,人生日相同(设为事件A ) 的概率.,解,为 n 个人的生日均不相同,这相当于,本问题中的人可被视为“球”,365天为,365只“盒子”,若 n = 64,,每个盒子至多有一个球. 由例4(6),例5,Ch1-61,解,例6 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数, 求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.,设 A为“能排成首位非零的四位偶数”,四位偶数的末位为偶数, 故有 种可能,而前三位数有 种取法,由于首位为零的四,位数有
9、 种取法,所以有利于A发生的取,法共有 种.,例6,Ch1-62,解,设 A 表示事件 “n 次取到的数字的乘积 能被10整除”,设 A1 表示事件 “n 次取到的数字中有偶数” A2表示事件 “n 次取到的数字中有5”,A = A1 A2,例7 在1,2,3, ,9中重复地任取 n ( )个数, 求 n 个数字的乘积能被10整除的概率.,例7,Ch1-63,Ch1-64,1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需 设计符合问题要求的随机试验, 使其成为 等可能概型.,3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式, 将复杂问题简单化. 如例7.,2o 同一题的样本空间的基本事件总数 随试验设
10、计的不同而不同, 如 例3不放回试验的两种不同设计. 一般 越小越好.,Ch1-65,若P(A) 0.01 , 则称A为小概率事件.,小概率事件,一次试验中小概率事件一般是不,会发生的. 若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.,小概率原理,小概率原理,( 即实际推断原理 ),Ch1-66,例8 区长办公室某一周内曾接待过9次来,访, 这些来访都是周三或周日进行的,是否,可以断定接待时间是有规定的?,解 假定办公室每天都接待,则,P( 9次来访都在周三、日) = = 0.0000127,这是小概率事件,一般在一次试验中不会发,发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立,从而推断
11、接待时间是有规定的.,例8,Ch1-67,柯尔莫哥洛夫,( A. H. 1903-1987 ),1939年任苏联科学 院院士.先后当选美,法, 意,荷,英,德 等国的外籍 院士 及皇家学会会员. 为 20 世纪最有影响的俄 国数学家.,俄国数学家,柯尔莫哥洛夫,Ch1-68,柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一 系列重要分支作出重大贡献.,他建立了在测度论基础上的概率论 公理系统, 奠定了近代概率论的基础.,他又是随机过程论的奠基人之一, 其主要工作包括:,20年代 关于强大数定律、重对数 律的基本工作;,Ch1-69,1933年在概率论的基本概念 一文中提出的概率论公理体系(希尔伯 特第6问题),
12、30年代建立的马尔可夫过程的两 个基本方程;,用希尔伯特空间的几何理论建立 弱平稳序列的线性理论;,40年代完成独立和的弱极限理论, 经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;,Ch1-70,在动力系统中开创了关于哈密顿系 统的微扰理论与K系统遍历理论;,50年代中期开创了研究函数特征的,信息论方法, 他的工作及随后阿诺尔德,的工作解决并深化了希尔伯特第13问题,用较少变量的函数表示较多变量的 函数 ;,60年代后又创立了信息算法理论;,Ch1-71,1980年由于它在调和分析, 概率论, 遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作 获沃尔夫奖;,他十分重视数学教育,在他的指引 下,大批数学家在不同的领域内
13、取得重 大成就.其中包括.M.盖尔范德,B. 阿诺尔德, .西奈依等人.,他还非常重视基础教育, 亲自领导 了中学 数学教科书的编写工作.,Ch1-72,每周一题(2),问 题,已知 P( A ) = P( B ) = P(C) =1/4 ,P(AB) = 0, P(AC) = P(BC) = 1/6,通过做此题 你能发现什么问题?,第 2 周,Ch1-73,例9 某人的表停了,他打开收音机听电台 报时, 已知电台是整点报时的,问他等待 报时的时间短于十分钟的概率,9点,10点,10分钟,例9,Ch1-74,几何概型 设样本空间为有限区域 , 若样本点 落入 内任何区域 G 中的概率与区域G
14、的测度成正比, 则样本点落入G内的概率 为,Ch1-75,例10 设两船到达同一码头的时间是 随机的且各不相干. 两船到达后需在 码头停留的时间分别是 1 与 2 小 时, 试求一昼夜内, 任一船到达时, 需要等 待空出码头的概率.,解 设船 1 与船 2 到达码头的瞬时为 x 与 y , 0 x 24 , 0 y 24,设 事件A 表示“任一船到达时需要等 待空出码头”.,例10,Ch1-76,Ch1-77,用几何概型可以回答例 2 中 提出的 “概率为 1 的事件为什么 不一定发生 ? ” 这一问题.,Ch1-78,设试验为“ 随机地向边长为1 的,正方形内投点”. 事件A 为“点投,由于
15、点可能投在正方形的对角线上,所以事件 A 未必一定发生.,求,在黄、蓝两三角形内” ,如图,,Ch1-79,完全可加性,随机地向区间 ( 0 , 1 投掷一个质点,,令事件 A 为该质点落入区间,事件 Ak 为该质点落入区间,A,附录,附录,Ch1-80,Ch1-81,排列组合有关知识复习,Ch1-82,排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地)按一定的次序排成一排不同的 排法共有,全排列,Ch1-83,Ch1-84,,不同的分法共有,多组组合 把 n 个元素分成 m 个不同的组 (组编号), 各组分别有 个元 素,,种,组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地)组成一组, 不同的分法共有,Ch1-85,将15 名同学(含3 名女同学), 平均分成 三组. 求 (1) 每组有1 名女同学(设为事件A)的概率; (2) 3 名女同学同组(设为事件B)的概率,解,(1),(2),例11,Ch1-86,例12 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中,每盒放一球, 求至少有一个盒子的号码与放入的球的号 码一致的概率,解 设 A 为所求的事件,设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒, i = 1,2,3,4,则,Ch1-87,由广义加法公式,
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