概率论与数理统计华工版第3章.ppt
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1、第3章 随机变量,随机变量的概念 一维随机变量及其分布 一维离散型随机变量 一维连续型随机变量 正态分布 一维随机变量函数的分布,3.1 随机变量的概念,要求问题涉及的随机事件与变量相关,这样可以将概率和函数建立联系。,定义 称定义在样本空间上的实函数=(),是随机变量,如对任意实数x ,集合 () x 都是一随机事件。,注:一般() 简单记为, () x 记为x,随机变量,3.2 一维随机变量及其分布,分布函数,设是一个随机变量,x是任意实数,函数F(x)=P()x称为随机变量的分布函数,记作F(x)或F(x)。, 的分布函数也常简记为F(x)= Px,分布函数的性质,任一随机变量的分布函数
2、F(x),x(,),具有下列性质:,(1)单调不减性 若x1x2,则 F(x1) F(x2),根据概率的性质,得Px2 Px1 即 F(x2) F(x1),证明: 若x1x2 ,则有,(2) 0F(x) 1 ,且,(3) 左连续性 对任意实数 x0 ,有,如某实函数具有上述3个性质,则它可作为某随机变量的分布函数,由分布函数,可以计算如下概率:,离散型随机变量,如随机变量的取值只有有限个或可列多个,则称它为离散型随机变量。,3.3 一维离散型随机变量,随机试验:接连进行两次射击,表示未击中目标,表示击中目标。样本空间:,现在我们设定随机变量表示击中目标的次数,则,随机试验:观察某电话交换台单位
3、时间内接到的呼唤次数。样本空间=0,1,2,,以表示接到的呼唤次数,那么,=()=,是离散型随机变量。,设离散型随机变量的全部取值为x1,x2,xn,且P(=xi)=pi,i=1,2, 则称上式为的概率分布律。也可写作:,离散型随机变量的分布列,称为的分布列,显然,在试验1中,假设两次射击是相互独立的,且命中目标的概率为0.6,则的分布列为,0,1,2,0.16,0.48,0.36,例,退化分布,如随机变量只取常数C,则称服从退化分布。 显然 P(=C)=1,退化分布也称为单点分布,二项分布,二项概率公式,设在一次试验中,事件出现的概率为p (0p1),则在n重伯努利试验中,事件出现次数的分布
4、律为,随机变量所服从的分布称为二项分布。 以B(n,p) 表示。,若B(n,p) ,则有下式成立:,1),2),3),定理1,两点分布,特别,称n=1的二项分布为两点分布,其分布列为,定理2,设B(n,p),令k0=Int(n+1)p 则k=k0时,b(k;n,p)的值最大。 若 (n+1)p为整数,则b(k0;n,p)= b(k01;n,p),证明:,故,例1 已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯敌机的概率是0.96,问在同样条件下需发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?,解 设需要发射n枚导弹,则击中敌机的导弹数是随机变量B(n,0.96) 由题意有P(1)=1
5、-(1-0.96)n 0.999 故 nlg0.001/lg0.04=2.15 取n=3,即需要发射3枚导弹。,例2 (渔佬问题) 渔佬想知道自己承包的鱼塘中鱼的条数。 渔佬先从塘中网起100条鱼做上记号后放回塘里,过一段时间(使其均匀)再从中网起80条,发现其中有记号者为2条,求鱼的总数N。,解 设80条鱼中有记号的鱼的条数为,则服从二项分布B(80,100/N)。,由定理2, 80条鱼中捞起的有记号的鱼最有可能是Int(n+1)p)条, 因此(80+1)100/N=2 由此解得 N=4050(条),若离散型随机变量的分布律为,其中0是常数,则称服从参数为的泊松分布。记为P() ,称为参数。
6、,泊松分布,因为0 ,故有P(=k)0 。(k=0,1,2, ),即泊松分布的分布律,具备概率函数两性质。,在任给一段固定的时间间隔内,来到公共设施(公共汽车站、商店、电话交换台等)要求给予服务的顾客个数; 炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数; 落在显微镜片上的某种细菌个数,在实际问题中,有很多随机变量都近似服从泊松分布。例如:,由定理知:泊松分布是二项分布的极限分布,设随机变量n服从二项分布B(n,pn) (n=1,2, ),其中概率pn与有关,并且满足,泊松定理,证明 :,其中为一个定数。,对任意固定的非负整数,有,故得,在应用中,当很大(n10 ),很小(0.1) ,我们有下面的泊松
7、近似公式,其中=np,解 设为击中目标的弹数, 则B(5000,0.001) ,,例3 设每次击中目标的概率为0.001,且各次射击是否中目标可看作相互没有影响,如果射击5000次,试求:()击中12弹的概率;()至少击中12弹的概率。,下面用近似公式计算。其中=np=50000.001=5,()至少击中12弹的概率为:,()击中12弹的概率为:,例4 设有同类设备台,各台工作相互独立的,发生故障的概率都是0.01,并且一台设备的故障可由一个人来处理,试求 ()一个人负责维修台设备时,设备发生故障而不能及时维修的概率; ()由三个人共同负责维修台设备时,设备发生故障而不能及时维修的概率。,解:
8、 (1)设表示同一时刻发生故障的设备台数。 在同一时刻至少有台设备发生故障,便不能及时处理。,若用泊松近似公式(=np=200.01=0.2) ,则有,(2)设表示同一时刻发生故障的设备数,则 B(80,0.01)。 当同一时刻至少有台设备发生故障时,就不能及时维修。 用泊松近似公式 (=np=800.01=0.8) ,得,计算结果表明,由三人共同负责维修台,每人平均约维修台,比一个单独维修台更好,既节约了人力又提高了工作效率。,例5 某商店由过去的销售记录表明,某种商品每月的销售件数可以用参数=7的泊松分布来描述,为了以0.999以上的把握保证不脱销,问该商店在月底至少应进这种商品多少件?,
9、解:设该商店每月销售件,月底进货为a件,则当a 时,就不会脱销。根据P(7) 得,查表得 a+117 即 a16,这家商店至少要在月底进16件这种商品。,几何分布,在“成功”概率是p的贝努利试验中,若以记首次出现“成功”的试验次数。则所服从的分布便是几何分布。,显然,例6 一个人要开门,他共有n把钥匙,其中仅有一把是能开此门的,现随机地从中取出一把钥匙来试开门,在试开时每一把钥匙均以1/n的概率被取用,问此人直到第S次试开时方才成功的概率是多少?,解,A=试开门成功,几何分布具有如下特征: 如的分布律为g(k;p),则对任意正整数s、t,有 P(s+ts)= P(t) 称几何分布具有“无记忆”
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