解对初值的连续性和可微性.ppt
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1、3.3 解对初值的连续性和可微性,/Continuous and differentiable dependence of the solutions/, 解对初值的连续性, 解对初值的可微性,本节要求: 1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理; 2 了解解对初值及参数的可微性定理。,内容提要,3.3 Continuity & differentiability,3.3.1 解对初值的对称性定理,设 f (x,y) 于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件,,是初值问题,的唯一解,则在此表达式中, 与 可以调换其相对位置,即在解的存在范围内成立着关系式,3.3 Continuity & d
2、ifferentiability,3.3.2解对初值的连续依赖性定理,假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件,,是初值问题,的解,它于区间 有定义 ,那么,对任意给定的 ,必存在正数, 使得当,时,方程满足条件 的解,在区间,也有定义,并且,3.3 Continuity & differentiability,引理,如果 f(x,y) 在某域 D 内连续,且关于 y 满足,利普希兹条件(利普希兹常数为L),则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式,其中 为所考虑区间内的某一值。,证明,设 在区间 均有定义,令,不妨设,因此,有,3.3 Con
3、tinuity & differentiability,则,于是,因此,在区间 a,b 上 为减函数,有,3.3 Continuity & differentiability,对于区间,则,并且已知它有解,类似以上推导过程,令,注意到,因此,两边取平方根,得,3.3 Continuity & differentiability,解对初值的连续依赖性定理的证明,(一)构造满足利普希茨条件的有界闭区域,因为,积分曲线段,是 x y 平面上一个有界闭集,又按假定对S上每一点(x,y)必存在一个以它为中心的开圆 使在其内函数 f(x , y) 关于 y 满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理,可以找到有限
4、个具有这种性质的圆 并且它们的全体覆盖了整个积分曲线段S。设 为圆 的半径, 表示 f(x,y) 于 内的相应的利普希茨常数。,3.3 Continuity & differentiability,令,则有,且 的边界与S的距离 。对预先给定的,若取,则以S上每一点为中心,以 为半径的圆的全体,连同它们的圆周一起构成S的有界闭域 ,且 f (x,y),在D上关于 y 满足利普希茨条件,利普希茨常数为L。,3.3 Continuity & differentiability,(二)解对初值的连续依赖性,断言,必存在这样的正数,使得只要 满足不等式,则解 必然在区间,也有定义。,由于D是有界闭区域
5、,且 f (x,y)在其内关于 y 满足利普希茨条件,由延拓性定理知,解 必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为,这是必然有,3.3 Continuity & differentiability,因为否则设 则由引理,由 的连续性,对,必存在,使得当 时有,取,则当,3.3 Continuity & differentiability,于是,对一切 成立,特别地有,即点,均落在D的内部,而不可能,位于D的边界上。与假设矛盾,因此,解 在区间a,b上有定义。,3.3 Continuity & differentiability,在不等式,中,,将区间c,d换为a,b ,可知 ,当,时,
6、有,定理得证。,3.3 Continuity & differentiability,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。,解对初值的连续性定理,假设 f (x,y) 于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件,则方程,3.3 Continuity & differentiability,1. 含参数的一阶方程表示,2. 一致利普希兹条件,设函数,一致地关于 y 满足局部利普希兹 (Lipschitz)条件,,为中心的球 ,使得对任何,其中L 是与 无关的正数。,在 内连续,且在 内,即对 内的每一点 都存在以,成立不等式,3.3 Continuity & differentia
7、bility,由解的存在唯一性定理,对每一,方程 的解唯一确定。记为,3.3 Continuity & differentiability,解对初值和参数的连续依赖性定理,假设 于域 内连续,且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件,,是方程 通过点 的解,在区间,那么,对任意给定的 ,必存在正数,时,方程满足条件 的解,在区间,也有定义,并且,有定义,其中,使得当,3.3 Continuity & differentiability,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。,解对初值和参数的连续性定理,假设 于域 内连续,且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件,则方程,3.3
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- 初值 连续性 可微性
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