常微分方程试题库试卷库知识点复习考点归纳总结参考.doc
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1、常微分方程期终考试试卷(1) 填空题(30%)电大考试电大小抄电大复习资料 一、 1、方程 (,)(,)0MxydNxy有只含 x的积分因子的充要条件是( ) 。有只含 的积分因子的充要条件是_ 。 、_称为黎卡提方程,它有积分因子_。 、_称为伯努利方程,它有积分因子_。 、若 12(),()nXtt 为 阶齐线性方程的 n个解,则它们线性无关的充 要条件是_。 、形如_的方程称为欧拉方程。 、若 ()t和 t都是 ()xAt的基解矩阵,则 ()t和 t具有的关系是 _。 、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_时,零解是 稳定的,对应的奇点称为_。 二、计算题() 1、 3()0y
2、dxy 、 sinco2tt 、若 14A 试求方程组 xA的解 12(),0t 并求 expAt 、 32()80dyxy 、求方程 经过(0,0)的第三次近似解 6.求 1,5 dxdyxtt 的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. 三、证明题() 、 n阶齐线性方程一定存在 n个线性无关解。 试卷答案 一填空题 、 () MNyx () MNyxy 、 2()dpyQR yz 、 () nx (1)(,)npxduxe 、 12),0wtt 、 110nnnndydyxaaxx 、 ()tC 、零 稳定中心 二计算题 、解:因为 1,MNyx ,所以此方程不是恰当方程,方程有积分因子22ln
3、()dyey ,两边同乘 2 1y 得 320dxy 所以解为 321xxcy2cy 即 2()xyc另外 y=0 也是解 、线性方程 0的特征方程 210故特征根 i1()sinft i是特征单根,原方程有特解 (cosn)xtABt代入原方程 A=- 12 B=0 2()cosftt 2i不是特征根,原方程有特解cosinxAtBt 代入原方程 13A B=0 所以原方程的解为 12cosincos2xtttt 、解: ()6904p 解得 1,23此时 k=1 12n12v 113322120 ()()()!it itieAEe 由公式 expAt= 10()!ntii 得33301ex
4、p() 1t t ttAEete 、解:方程可化为 284dyx 令 dypx 则有 3284yp (*) (*)两边对 y 求导: 32232()(8)py 即 32(4)()0dp 由 0d 得 12pcy 即 () p 将 y 代入(*)24cpx 即方程的 含参数形式的通解为: 24()xyc p 为参数 又由 320y得 123(4)y 代入(*)得: 327x 也是方程的解 、解: 021 520410725183()0460xxydxy xxd 、解:由 105xy 解得奇点(3,-2)令 X=x-3,Y=y+2 则 dytx 因为 1 =1+1 0 故有唯一零解(0,0) 由
5、22101 得 1i故(3,-2)为稳定焦 点。 三、 证明题 由解的存在唯一性定理知:n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的 n 解:102001110200(),(),()(),(),()nnnnxttxtxtxtxt 考虑 10200(),()1nwtt 从而 (),)ixt 是线性无关的。 常微分方程期终试卷(2) 一、填空题 30% 1、 形如_的方程,称为变量分离方程,这里. )(.yxf分别 为 x.y 的连续函数。 2、 形如_的方程,称为伯努利方程,这里 QP为)(.的连 续函数.n , 可 化 为 线 性 方 程 。是 常 数 。 引 入 变 量 变 换 1.0 3、 如果
6、存在常数 使 得 不 等 式,L_对于所有称 为 利 普 希 兹 常 数 。都 成 立 ,( Ryx),(,21 函数 ),(yxf称为在 R 上关于 y满 足利普希兹条件。 4、 形如_-的方程,称为欧拉方程,这里 是 常 数 。,21a 5、 设 是的 基 解 矩 阵 ,是 )()( tAxt )(tfxtA的某一解,则它的任一 解 可 表 为_-。 二、 计算题 40% 1、 求方程 的 通 解 。 26xyd 2、 求方程 xye 的通解。 3、 求方程 t256的隐式解。 4、 求方程 ) 的 第 三 次 近 似 解 。、通 过 点 ( 0yxd 三、 证明题 30% 1.试验证 t
7、= 12t 是方程组 x= t210 x,x= 21x ,在任何不包含原点的区间 a bt上的基解矩阵。 2.设 为方程 x=Ax(A 为 nn 常数矩阵)的标准基解矩阵(即 (0)=E) , 证明: t1(t0)= (t- t0)其中 t0为某一值 . 常微分方程期终试卷答卷 一、 填空题(每空 5 分) 1 )(yxfd 2、 nyxQPdxy)( z= ny1 3 ,(1ff21L 4、 0111 yadxdx yaxynnnn 5、 )()(tt 二、 计算题(每题 10 分) 1、这是 n=2 时的伯努利不等式,令 z= 1y,算得 dx yz2 代入原方程得到 xzd 6 ,这是线
8、性方程,求得它的通解为 z= 8 26xc 带回原来的变量 y,得到 1 = 8 26c 或者 c xy86 ,这就是原方程的解。 此外方程还有解 y=0. 2、 解: x yeedxydy)(exdxyyexy 积分: cx y21 故通解为: 0 2exy 3、 解:齐线性方程 56x的特征方程为 0562, 5,12,故通解为 ttectx521)( 不是特征根,所以方程有形如 tAtx2)( 把 )(tx代回原方程 tttt eeA2254 21 于是原方程通解为 ttt ecetx521)( 4、 解 0)(x xd0221)(20)()( 50212x4016)()( 185023
9、 xxdx 三、证明题(每题 15 分) 1、证明:令 t的第一列为 1(t)= t2 ,这时 1(t)= 2t = t102 (t)故 1(t)是 一个解。同样如果以 2(t)表示 t第二列,我们有 2(t)= 0 = t22 (t) 这样 2(t)也是一个解。因此 是解矩阵。又因为 det t=-t 故 是基解 矩阵。 2、证明:(1) t, (t- t0)是基解矩阵。 (2)由于 为方程 x=Ax 的解矩阵,所以 t1(t0)也是 x=Ax 的 解矩阵,而当 t= t0时, (t0) 1(t0)=E, (t- t0)= (0)=E. 故由解 的存在唯一性定理,得 t(t )= (t- t
10、0) 常微分方程期终试卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%) 1.1. 2xylnydx+ 2x+y 21 dy=0 2. dx y =6 -x 2 3. y=2 )1( 4. x = 2 +y 5. 5. tgydx-ctydy=0 6. 6. y-x( 2x+y)dx-xdy=0 7一质量为 m 质点作直线运动,从速度为零的时刻起,有一个和时间成正比 (比例系数为 1k)的力作用在它上面,此外质点又受到介质的阻力,这阻 力和速度成正比(比例系数为 2k) 。试求此质点的速度与时间的关系。 8. 已知 f(x) xdtf0)( =1,x0,试求函数 f(x)的一般表达式。 二 证
11、明题(10%*2=20%) 9. 试证:在微分方程 Mdx+Ndy=0 中,如果 M、N 试同齐次函数,且 xM+yN0, 则 )( 1yNxM 是该方程的一个积分因子。 10. 证明:如果已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等方法求得它的通解。 试题答案: 1. 解: My =2xlny+2x , Ny =2x,则 MNyx = 2lny = 1 ,故方 程有积分因子 y= 1dye = ,原方程两边同乘以 1y 得2lnxy dx+ 2 dy=0 是恰当方程. d( 2xlny)+y 21ydy=0,两边积分得 方程的解为 2lny+ 321y =C。 2. 解:1)y=0 是方程的特解。2
12、)当 y0 时,令 z= 1y 得dzx = 6 z+x. 这是线性方程,解得它的通解为 z= 268cx 代回原来的变量 y 得方程解为 1y = 268cx ;y=0. 3. 解:令 x=u+3, y=v2, 可将原方程变为 dvu = 2 , 再令 z= vu ,得到 z+ dzu = 21 ,即 dzu = 21 , 分离变量并两端积分得 2 zz = +lnC 即 ln z+2arctgz= lnu+lnC, ln u= 2arctgz+lnC 代回原变量得 v=C 2varctgue 所以,原方程的解为 y+2=C 223yarctgxe . 4. 解:将方程改写为 y= 21x
13、+ y (*) 令 u= x y ,得到 x y=x u+ u,则(*)变 为 x d u = 1, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln +lnC, 故方程的解为 arcsin x y =lnCx。 5. 解:变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)= ln xcos+C 或 sinycosx=C (*) 另外,由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k(k=0、1) ,x=t +2 (t=0、1) 也是方程的解。 tgy=0 或 ctgx=0 的解是(*)当 C=0 时的特殊 情况,故原方程的解为 sinycosx=C。 6. 解:ydx-xdy-x( 2
14、x+y)dx=0,两边同除以 2x+y得2ydx xdx=0,即 d(arctg ) 1 d 2=0,故原方程的解为 arctg xy12 =C。 7 解:因为 F=ma=m dvt ,又 F= 1F2= 12tvk, 即 m dvt = 12k(v(0)=0),即 t= 12v(v(0)=0), 解得 v= 22tme + 12k (t 2 m ). 8 解:令 f(x)=y, ()fx= 0(ftd,两边求导得 1y =y, 即 1y =y,即 31dy =dx,两边求积得 21 =2x+C, 从而 y= 2xC,故 f(x)= xC. 9. 证明:如 M、N 都是 n 次齐次函数,则因为
15、 x +y y=nM,x x+y y=nN,故有 MNyxxy =2()()y yy 2()()xx xMyNMy = 2 ()xx yNMy = 2 ()(nx =0. 故命题成立。 10. 解:1)先找到一个特解 y= y。 2)令 y= y+z,化为 n=2 的伯努利方程。 证明:因为 y= 为方程的解, 所以 dyx =P(x) 2 +Q(x) y+R(x) (1) 令 y= +z,则有dyx + z = P(x) 2()z +Q(x)()z+R(x) (2) (2)(1)得 dx = P(x) y+Q(x)z 即 z =2P(x) y+Q(x)z+P(x) 2z 此为 n=2 的伯努
16、利方程。 常微分方程期终试卷(4) 一、填空题 1、 ( )称为变量分离方程,它有积分因子( )。 、当( )时,方程 0),(),(dyxNyxM称为恰当方程,或 称全微分方程。 、函数 ),(yxf称为在矩形域上关于 y满足利普希兹条件,如果( ) 。 、对毕卡逼近序列, ()(1xkk。 、解线性方程的常用方法有( ) 。 、若 ),21)(nitX为齐线性方程的 n个线性无关解,则这一齐线性方程的所 有解可表为( ) 。 、方程组 xtA)(( ) 。 、若 )(t和 都是 xt)(的基解矩阵,则 )(t和 t具有关系:( ) 。 、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部( )时
17、,零解 是稳定的,对应的奇点称为( ) 。 、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时,则当( )时, 零解是渐近稳定的,对应的奇点称为( ) 。当( )时, 零解是不稳定的,对应的奇点称为( ) 。 、若 )(t是 xtA)(的基解矩阵,则 xtA)(tf满足 )(0tx的解( ) 。 二、计算题 求下列方程的通解。 、 1sin4xedx yy 。 、 )(1 22 。 、求方程 2yxd 通过 )0,(的第三次近似解。 求解下列常系数线性方程。 、 0x。 、 te。 试求下列线性方程组的奇点,并通过变换将奇点变为原点,进一步判断奇点的 类型及稳定性: 、 5,!yxdtyxdt 。 三、
18、证明题。 、 、设 )(t为方程 Ax(为 n常数矩阵)的标准基解矩阵(即)0(E ,证明 )()001tt其中 0t为某一值。 答案: 一、 填空题 、形如 )(xgfd y 的方程 )( 1ygu 、 NyM 、存在常数0,对于所有 Ryx)(,2,1都有使得不等式212,1)(),( yLyxff 成立 、 kh! 、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法 、 )()(1txcti ni ,其中 nc,2,1 是任意常数 、 个线性无关的解 )()(txt 称之为 xtA)(的一个基本解组 、 )(t tcbtac为非奇异常数矩阵 、等于零 稳定中心 、两根同号且均为负实数
19、稳定结点 两根异号或两根同号且均为正 实数 不稳定鞍点或不稳定结点 、 dsftt)()()(0 101 二、 计算题 、 解:方程可化为 1sin4xedxyy 令 yez,得 zdxsin4 由一阶线性方程的求解公式,得 xxxdxdx cexceeceez )os(in2)os(in2)sin4(1()1 所以原方程为: y x)osin2 、 解:设 tpdx,则有 tysec,从而ctgtcttgx 2sesein1 ,故方程的解为 221)(ycx, 另外 y也是方程的解 、 解: 0)(x 2011)(dx 52042 01)xx dxxdx 0 710402523 2)1()(
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