常微分方程第二版答案第4章知识点复习考点归纳总结参考.doc
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1、习 题 41 1求解下列微分方程电大考试电大小抄电大复习资料 1) 224xpy)(dxyp 解 利用微分法得 01)( 当 时,得0dpxxc 从而可得原方程的以 P 为参数的参数形式通解224ypxc 或消参数 P,得通解 )2(1cy 当 时,则消去 P,得特解 0xp2xy 2) ; 2()ylnxpd 解 利用微分法得 ()0plx 当 时,得 0pdxcp 从而可得原方程以 p 为参数的参数形式通解: 或消 p 得通解 2()ylnpxc 2yClnx 当 时,消去 p 得特解 0l21()4l 3) 21pxycxdy 解 利用微分法,得 两边积分得xdp21cP21 由此得原方
2、程以 P 为参数形式的通解: ,21(pxy.122cxp 或消去 P 得通解 22)(CX 1 用参数法求解下列微分方程 1) 452 2dxy 解 将方程化为 令 2 2154dxy2sinyt2cos5dytx 由此可推出 从而得(si)22co2cosdxdydtdtttctx25 因此方程的通解为 ,52xtc2sinyt 消去参数 t,得通解 2sin()5yxC 对于方程除了上述通解,还有 , ,显然2y0dxy 和 是方程的两个解。2y 2) 23()1dx 解:令 ,ucsuxycot3 又令 则tan2t t21sin duudy322sinco1ct3dttt222113
3、tt)(43 积分得, 2211(ln)yttc22(4ln)83ttC 由此得微分方程的通解为 ,tx212211(4ln)83yttc 3) dx)( 解:令 则tytxt234 解得 又314tx 322332 )1(6)(tttdyt dutut 333)(1)1(62231()(6udud 228()yC 32381(1)Ctt 由此得微分方程的通解为 , 。314tx32381(1)ytt 习题 42 1得用 P判别式求下列方程的奇解: 2) 2)(dxyy 解:方程的 P判别式为2,0xp 消去 p,得 42xy 经验证可知 是方程的解。2 令 则有 ,2),(pxypxF 2(
4、,)14yxF2“(,)4pxF 和 2(,)04p 因此,由定理 4.2 可知, 是方程的奇解。241xy 2) 2)(dxy 解:方程的 P判别式为 ,2pxy0 消去 P,得 ,而 不是方程的解,故 不是方程的奇解。2xy2xy2xy 3) qd4)(12 解:方程的 P判别式为 ,9)(2py0)1(2py 消去 P,得 ,显然 是方程的解,0 令 则有ypyxF94)1(),(2 409y “(,0)2pFx 和 (,)px 因此,由定理 4.2 知, 是方程的奇解。y 2举例说明,在定理 4.2 的条件 (,)(0yFx 中的两个不等式是缺一不可的,“(,)(0pFx 解:考虑方程
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