第2章内积空间.ppt
《第2章内积空间.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第2章内积空间.ppt(39页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、同济大学数学系 2009-3-22,第 2 章 内积空间,2.1 实内积空间,定义.设V 是一个实线性空间,R为实数域,,2,若a, b V, 存在唯一的 rR与之对应,,记作(a, b ) = r, 并且满足,(1) (a, b ) = (b, a ),(2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g ),(3) (ka, b ) = k(a, b ),(4) (a, a )0, (a, a ) = 0 a = 0,则称 (a, b ) 为a 与b 的内积,V 为实内积空间。,实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。,对称性,非负性,3,定义内积,例. 线性空间,称为内积
2、空间 的标准内积。,4,定义内积,A为 n 阶实正定矩阵,,例. 线性空间,5,定义内积,例. 线性空间Ca, b,f , gCa, b,6,由定义知,(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ),(6) (a, kb ) = k(a, b ),向量长度,定义. 设V 为实内积空间,称 为向量a 的长度,,记作 |a |。,定理. 设V 是实内积空间,a , b V , k R ,则,等号成立当且仅当a , b 线性相关;,Cauchy-Schwarz 不等式,三角不等式,正定性,齐次性,7,8,Cauchy-Schwaz的两种特殊形式,向量的夹角,由Cauchy-S
3、chwaz不等式可知,9,向量的正交,定义. 设V 是实内积空间,a , b V ,若 (a , b ) = 0 , 则称 a 与b 正交,记作 a b 。,a 与b 正交,这就是实内积空间中的勾股定理。,10,2.2 欧氏空间的正交基,若它们两两正交,则称其为一个正交向量组。,定理:正交向量组必是线性无关的。,11,12,且其中每个向量的长度都是 1,,注意:向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的,基向量上的正投影,即,Gram-Schmidt 正交化过程,Gram-Schmidt 正交化过程:,13,14,令,14,由归纳法假设可知,15,几个定理和推论,定理1:n 维实内积空间V 必存
4、在标准正交基。,推论1:n 维实内积空间V 中任一正交向量组都可扩充成,V 的一个正交基。,16,几个定理和推论,17,题型,2.4 正交补,定义: 设W, U是实内积空间V 的子空间,,(1) a V , 若b W, 都有(a, b ) = 0,则称a 与W 正交,记作a W ;,(2) 若a W, b U, 都有(a, b ) = 0,则称W 与U 正交,记作W U ;,(3) 若W U,并且W + U = V,则称U 为W 的正交补。,注意:若W U,则 W与U 的和必是直和。,19,正交补的存在唯一性,定理: 设W 是实内积空间V 的子空间,则W 的正交补,存在且唯一,记该正交补为 ,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 内积 空间
链接地址:https://www.31doc.com/p-2548879.html