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1、(1)f(x)在区间a, b上连续;,(2)f(x)在区间a, b上有界,有有限个间断点.,(1) 区间a, b换为无穷区间?,(2)f(x)在区间a, b上无界?,5-4 反常积分,无穷限的反常积分 无界函数的反常积分,一、无穷限的反常积分,的计算:,例2. 计算反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似地,可定义,注:对于,只有当,均收敛时,方称原积分收敛;否则,为发散。,类似地,可计算,例3. 计算反常积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,分析:,原积分发散 !,注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .,例4.
2、证明第一类 p 积分,证:当 p =1 时有,当 p 1 时有,当 p 1 时收敛 ; p1,时发散 .,因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为,当 p1 时, 反常积分发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、无界函数的反常积分,引例:曲线,所围成的,与 x 轴, y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似地,可定义:,说明:,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,间断点,则本质上是常义积分,而不是反常积分.,,其瑕点只有x=0.,问题:以下积分为定积分还是广义积分?,又例:,的计算表达式 :,则也有类似牛 莱公
3、式的,若 b 为瑕点, 则,若 a 为瑕点, 则,若 a , b 都为瑕点, 则,则,可相消吗?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 若瑕点,下述解法是否正确:, 积分收敛,例1. 计算反常积分,解: 显然瑕点为 a , 所以,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 讨论反常积分,的收敛性 .,例3.,当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为,当 q 1 时, 该广义积分发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互,相转化 .,例如 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2. 两个重要的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业:,第256页: 1.(3)(6)(9)(10);2,
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