平面问题有限元.doc
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1、CHAPTER02 平面问题的有限元21 引言l 平面应力和平面应变问题的有限元分析l 位移有限元建立的一般方法l 三角形单元、矩形单元l 线性单元、高阶单元l 轴对称单元22 平面问题的三角形单元格式221 平面应力和平面应变平面应力:和, 、 、 平面应变: 沿某一方向没有位移,只有和 、 、 , 平面应力和平面应变的相互替换以下主要讨论平面应力222 三角形单元任意的一个平面采用三角形单元离散节点编号节点位移:如果节点位移已知,如何给出单元内部任意一点的位移?FEM的思想:单元内部插值223 单元分析若节点位移已知,如何求单元内部任意一点的位移,称为位移模式或位移函数一般取为多项式,多项
2、式选取:由低向高 为待定在节点上应满足节点位移 可以求出,它应该是节点坐标和节点位移的函数。同理可以求出最后给出位移的形式为:或:或 由于N是线性函数,因此任意一点的位移就表现为单元节点位移(取决于)的线性组合(取决于N)或就是插值,因此N也叫做插值函数。整个有限元的核心就是构造N和N所具有的性质(也是今后构造N所必须满足的条件)(1) (2) 任意点插值函数的和为1 意味着如果单元三个节点位移相同(具有刚体位移),则内部任意一点也有这个位移。从而有:由于单元受相邻单元的影响,必然产生刚体位移,因此我们在构造N的时候必须使得位移模式包含刚体位移。(3) 单元与单元边界上的位移是唯一的。保证唯一
3、的连续性,否则单元之间出现间隙或重叠。(验证留做作业)有了位移后,应变和应力可以方便的给出注意由于是和的线性函数,因此是常数因此我们得到的常应变单元和常应力单元。作业21 验证上述三角形单元边界上位移的连续性。应变是否连续?224 有限元方程与刚度矩阵采用最小势能原理建立单元的有限元平衡方程如下:上述由三部分组成,一部分为体积力的贡献,另一部分为边界力的贡献,还有一部分为周边单元的作用, 认为是通过节点之间相互作用的。应用最小势能原理有:为刚度矩阵。整个有限元问题最后归结为求解上述方程单元刚度矩阵的的若干性质:(1) 单元的平衡方程: ,为单元节点力 由三部分组成:体积力、边界力、单元相互作用
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