第6章习题课.ppt
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1、1,第6章 习题课,2,一. 向量组的线性相关性,1. 向量间的线性运算:加法、数乘。,把向量理解为列矩阵或行矩阵时,事实上就是矩阵的加法 和数乘。,注意: (1)同维向量做加减。 (2)零向量参与运算时,维数与其它向量维数相同。,2. 线性组合、线性表示,(1) 判断向量 可由向量组 线性表示的常用方法,方法1:,只要证出,就可得出,3,方法2:,证下列线性方程组有解,其中,方法3:,利用矩阵的初等行变换,行最简形矩阵,4,(2) 在判断或证明中,常用到的两个重要结论,结论1:,向量 可由向量组 线性表示,结论2:,5,(2) 利用常用结论:,1个零向量线性相关;一个非零向量线性无关。,n1
2、个n维向量线性相关。,部分相关 整体相关;整体无关 部分无关。,3. 线性相关性的判别方法,(1) 一般方法:设数,转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。,原向量组无关,维数增加后得到的新向量组依然无关; 原向量组相关,维数减少后得到的新向量组依然相关。,6,(3) 利用向量组的秩判断:,当 时, 线性无关。,当 时, 线性相关;,4. 极大无关组的选取或证明,(1) 初等变换法(最常用),7,解:,是一个极大无关组,并且,考虑:还有那些极大无关组?,8,(2) 极大无关组的证明,方法1:利用定义,线性无关;,9,证明: (往证 与 等价),向量组 可由向量组 线性表示。,又,向量组 可由向
3、量组 线性表示。,两个向量组等价,也是极大无关组。,10,二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法,初等变换后,看非零行的行数。,三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明,关于向量组的秩的两个重要定理:,11,1. 向量组秩的不等式的证明,证明:,证:(比较向量组秩的大小,通常从各自的极大无关组考虑),当 或 时,结论显然成立。,设向量组A的极大无关组是,设向量组B的极大无关组是,设向量组B的极大无关组是,12,综上,有,13,有关矩阵秩的重要结论:,使得,即矩阵A可以经过初等变换化为 形式。,14,2. 矩阵秩的不等式的证明,设,设,15,则,又,综上,,16,(2)设,则,17,又,综上,18,证:设 则存在可逆矩阵,使得,又,(令 ),(令 ),19,S行,n-S行,可逆,(Q可逆),20,例4:证明,证:设,则经过初等变换,有,21,3. 矩阵秩的等式的证明,(1)证,思路,(2)证,22,证:,综上,,23,证:设,则,又,由 线性无关,得,综上,,24,即,又,有,25,否则,若0,则K的列向量组 线性相关,则r(K)r,矛盾。,26,由,即,所以假设不成立。,线性无关。,27,4. 用矩阵k阶子式定义证明矩阵秩,下列说法等价,是可逆矩阵,是满秩矩阵,是非奇异矩阵,28,例7:设 是n阶矩阵 的伴随矩阵,,29,(2) 若,则,则,则,综上,,则 中元素全为0,即,
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