数字信号第5章答案.doc
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1、EDITED BY LB5.1 证明随机变量的均值的线性性质即式(5.16)和式(5.17)。 证明E()=+其中=由于的概率的概率的概率的概率的概率0的概率0所以最后得E=+=E+E另一方面,有Ea=a=aE故随机变量的均值具有线性性质。5.2 已知x(n)和y(n)是不相关的两个随机信号,它们的方差分别是和,求w(n)=x(n)+y(n)的方差。 根据随机信号的均值的线性性质,得到 由于x(n)和y(n)是不相关的两个随机信号,所以在上列最后一个式子中 因此 5.3 设有3个白噪声序列x(n)、x(n)和x(n),它们分别在区间(-q,0)、(-q/2,q/2)和(0,2)上呈均匀分布。(
2、1) 画出它们的概率密度函数图形。(2) 计算它们各自的均值。(3) 计算它们各自的方差。解(1)、和的概率密度函数分别为 其图形如图所示。xxx (2) 、和的均值 (3) 、和的方差 5.4 已知随机信号x(n)=cos(n+)其中,角频率是常数,初相是在区间(0,2)均匀分布的随机变量。求x(n)的均值和自相关序列,并判别x(n)是否广义平稳随机过程。 x(n)的均值为=Ex(n)=0 =Ex(m)x(n)= = 因为和都与时间起点n无关,只与时间差|n-m|有关,所以x(n)是广义平稳随机过程。5.5 证明一个任意随机信号与一个与其不相关的白噪声序列相乘后,变成为一个白噪声序列。 设任
3、意随机信号为x(n),白噪声序列为e(n),它们的乘积y(n)=x(n)e(n)。 白噪声序列e(n)的自相关序列为 其中,是白噪声序列e(n)的方差,是单位取样序列。 y(n)的自相关序列为 因为e(n)和x(n)不相关,所以上式可写成 因此y(n)是白噪声序列。5.6 遍历性过程一定是平稳的,平稳随机过程一定是遍历性的,这两个论断正确吗?为什么?5.7 有一随机变量x,它的均值为m、方差为。已知x的N个测量值x(i=0,N-1)是互不相关的,这些测量值的算术平均值=称为取样均值。(1) 求的期望值。(2) 求的方差。5.8 同上题。把=叫做取样方差。(1) 计算取样方差的期望值E。 期望值
4、 = =(2) 若x是高斯随机变量,即x的概率密度函数为p(x)=e求取样方差的方差Var=E(-E)。5.9 x(n)是零均值随机过程的取样序列,d(n)=x(n+1)-x(n)称为差分序列。设该随机过程的功率谱是低通的即S(e)=此外还假设已知随机过程自相关序列的前两个值R(0)和R(1)。(1) 求差分序列的均方值Ed(n). 差分序列的均方值 (2) 证明Ed(n)Ex(n). 因为差分序列的均值为 所以差分序列的方差为 x(n)的功率谱为 上式可视为偶函数的傅里叶级数展开式,级数的前两个系数分别为 和 由于当时,所以 上式中 因此得 即 或 5.10设x(n)是均值为零,方差为的平稳
5、白噪声随机信号,它作用于冲激响应为h(n)的线性非移变系统的输入端,得到输出随机信号y(n)。(1) 求x(n)与y(n)的互相关序列在滞后时间m=0时的取样值R(0)。 解:线性非移变系统的输出y(n)输入x(n)有如下关系 因此 其中,是均值为零、方差为的平稳白噪声随机信号x(n)的自相关序列,有 所以 (2) 求输出信号y(n)的方差。 解:因为x(n)的均值为零,所以y(n)的均值也为零,因此 由于x(n)是一个均值为零、方差为的平稳白噪声随机信号,所以 因此 5.11设有一平稳随机信号x(n)由于下列差分方程表示:x(n)=-式中,a(k=1,p)是p个常数,u(n)是均值为零、方差
6、为的白噪声。求x(n)的自相关序列R(m)的表示式。 解:x(n)的自相关序列为 (1) 式(1)右端第二项 (2) 由于h(n)是因果系统即满足条件h(-m)=0(m0),所以式(2)成为 Ex(n)u(n+m)= (3) 由题给差分方程可求出系统函数 根据初值定理,有 (4) 将式(4)代入式(3),得 Ex(n)u(n+m)= (5) 将式(5)代入式(1),最后得 这就是x(n)的自相关序列应满足的方程式。5.12有一线性非移变系统,其单位冲激响应为h(n)=,若在该系统输入端作用一个离散随机信号x(n),则在系统输出端得到y(n)。(1) 求输出信号y(n)的自相关序列。(2) 求输
7、入信号x(n)与输出信号y(n)的互相关序列。(3) 证明(2)所算得的互相关序列是奇序列。(4) 若用x(n)和y(n)构成一个复序列(n), (n)=x(n)+jy(n)请计算(n)的自相关序列。(5) 求用(n)的功率谱。解:(1)首先求h(n)的傅里叶变换 j j 其中 因此,当时 即 由此得到 由于y(n)的功率谱与功率谱有以下关系: 且功率谱与自相关序列之间有傅里叶变换关系,即 所以,最后得到 (2)x(n)与y(n)的互相关序列 Ex(n)y(n+m)Ex(n) (3)因x(n)是实序列,有 h(n)是奇序列,即 h(n)h(n) 所以 即(2)所算得的互相关序列是奇序列。(4)
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