第七章偏微分方程.ppt
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1、浙江大学,实用数值计算方法,1,第七章 偏微分方程,7.1 一般介绍 7.2 一阶双曲型方程的差分求解法 7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法 7.4 一阶双曲型方程的线上求解法 7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法 7.6 二阶椭圆型方程的有限元求解法 7.7 二阶椭圆型方程的加权残差求解法 7.8 二阶抛物型方程的差分求解法 7.9 二阶抛物型方程的线上求解法 7.10 二阶双曲型方程的特征线求解法,浙江大学,实用数值计算方法,2,7.1 偏微分方程的一般介绍 Partial Differential Equations(PDEs),自变量数 至少2个,阶数 方程中导数的最高阶数,性态 以一
2、阶方程为例,浙江大学,实用数值计算方法,3,7.1,浙江大学,实用数值计算方法,4,7.1,类型 一阶栓区型方程,流动方程 Advection Equation(AE),二阶线性方程,浙江大学,实用数值计算方法,5,7.1,求解方法 有限差分法 Method of Finite Differences (MFD) 特征线法 Method of Characteristics (MOC) 线上求解法 Method of Lines (MOL) 有限元素法 Method of Finite Elements (MFE) 加权残差法 Method of Weighled Residuals (MWR
3、) 问题 收敛性 Convergence 当采取的步骤趋于无限时,数值结果是否趋于理论值? 稳定性 Stability 在某一步引入的误差,经多步数值计算后,会扩大或抑制?,浙江大学,实用数值计算方法,6,7.2 一阶双曲型方程的差分求解法,或称流动方程 Advective Advection Equation (AE) v为流速因子 该方程的介折解,求具体解时需要提供2个辅助条件,浙江大学,实用数值计算方法,7,7.2 assuming the forcing function is a Rump The solution of is shown below.,图 7.1 Propagati
4、on of the Wave Front,浙江大学,实用数值计算方法,8,7.2.1 最简单的差分化格式构想,图 7.2,浙江大学,实用数值计算方法,9,7.2.1 以上方法称为 时间镶嵌空间中心 的差分表达 Forward Time Centered Space FTCS represetation 实际上这个方法不能用:不稳定的方法 Unstable Method 考虑数据误差 r 由于原方程为线性,故误差的传播关系 是与原方程完全相同的差分方程 差分方程独立解的一般形式 Independent Solutions of Difference Equations,浙江大学,实用数值计算方法
5、,10,7.2.1,应为补充解和特殊解之和 补充解系由下式求出,补充解系由两个独立解 组成,浙江大学,实用数值计算方法,11,7.2.1 差分方程的解 可用算符运算方法 Operator Calculus 导出 差分算符 Difference Operator,它和微分算符一样,是一种线性算符 用于线性二阶差分方程,和微分方程类似,它的补充解可由下式得到,浙江大学,实用数值计算方法,12,7.2.1 故补充系由两个独立解组成 (Independent Solutions),两个独立解为,差分方程的一个独立解 (Eigenmode),浙江大学,实用数值计算方法,13,7.2.1 差分方程独立解的
6、一般形式,用于本题的情况,将独立解代入差分表达式,得到,浙江大学,实用数值计算方法,14,7.2.2 差分格式的改进,Courant Condition,图 7.3,图 7.4,浙江大学,实用数值计算方法,15,7.2.2,Courant 条件 的物理意义 波形传递系 沿x=vt线 t节点的选取 当节点取在线上: 当节点取在线外: 当节点取在线内: Lax差分格式也写成以下形式 可以看成为以下偏微分方程的FTCS差分式,dissipative term 耗散项 Numerical Viscosity 数值黏度,图 7.5,浙江大学,实用数值计算方法,16,7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法
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