二章节Lagrange插值.ppt
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1、1,第二讲 Lagrange插值,2,主要知识点,插值的基本概念,插值多项式的存在唯一性; Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值公式); 插值余项; 插值方法:(1)解方程组、(2)基函数法。,3,插值问题描述,设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值: 插值问题:根据这些已知数据来构造函数 的一种简单的近似表达式,以便于计算点 的函数值 ,或计算函数的一阶、二阶导数值。,4,多项式插值定义,在众多函数中,多项式最简单、最易计算,已知函数 个互不相同的点处的函数值 ,为求 的近似式,自然应当选 次多项式,使 满足条件,5,插值的几何意义,插值多项式的几何意义,
2、6,插值唯一性定理,定理:(唯一性) 满足 的 n 阶插值,多项式是唯一存在的。,7,存在唯一性定理证明,设所要构造的插值多项式为:,由插值条件,得到如下线性代数方程组:,8,存在唯一性定理证明(续),此方程组的系数行列式为,范得蒙行列式 !,D 0,,因此,Pn(x)由a0, a1, an唯一确定。,9,插值方法,一、解方程组法: 类似插值唯一性定理证明过程,先设插值多项式函数为 ,将 个节点的函数值代入多项式里,便得到 个等式,得到一个关于多项式里系数的线性方程组,解此线性方程组,便得到所要求的插值多项式。 二、基函数法:一种既能避免解方程组,又能适合于计算机求解的方法,下面将具体介绍。,
3、10,拉格朗日插值公式,拉格朗日(Lagrange)插值公式的基本思想是,把pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,n)的构造。,11,线性插值函数,x0,x1,(x0 ,y0),(x1,y1),P1(x),f(x),可见 是过 和 两点的直线。,12,抛物插值函数,x0,x1,x2,p2(x) f(x),f(x),因过三点的二次曲线为抛物线,故称为抛物插值。,13,N次插值函数,设连续函数 在a, b上对给定n + 1个不同结点:,分别取函数值,其中,试构造一个次数不超过n的插值多项式,使之满足条件,i = 0, 1, 2, n,14,一次Lagrange插值多项
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