第7讲.ppt
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1、第七讲 泰勒(Taylor)级数 罗朗(Laurent)级数,1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式,4.3 泰勒(Taylor)级数,1. 泰勒(Taylor)展开定理,现在研究与此相反的问题: 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示?),以下定理给出了肯定回答: 任何解析函数都一定能用幂级数表示。,定理(泰勒展开定理),分析:,代入(1)得,-(*)得证!,证明,2. 展开式的唯一性,结论 解析函数展开成幂级数是唯一的,就是它 的Taylor级数。,利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数,
2、这样 的展开式是否唯一?,事实上,设f (z)用另外的方法展开为幂级数:,由此可见,任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数,因而是唯一的。,-直接法,-间接法,代公式,由展开式的唯一性,运用级数的代数运算、分 析运算和 已知函数的展开式来展开,函数展开成Taylor级数的方法:,3. 简单初等函数的泰勒展开式,例1,解,上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.,例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:,解,(2)由幂级数逐项求导性质得:,(1)另一方面,因ln(1+z)在从z=-1向左沿负 实轴剪开的平面内解析, ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为
3、z1.,定理,1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数 4. 展开式的唯一性,4.4 罗朗(Laurent)级数,由4.3 知, f (z) 在 z0 解析,则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 z - z0R 内展开成 z - z0 的幂级数。 若 f (z) 在 z0 点不解析,在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数,但如果在圆环域 R1z - z0R2 内解析, 那么,f (z)能否用级数表示呢?,例如,,本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。
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