有限差分法分析电磁场边值问题定稿.doc
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1、西南科技大学本科生毕业论文 1 第 1 章绪 论 1.1 电磁场理论产生的背景及其意义 电磁场理论是人类探索自然活动的结晶和宝贵财富。人类认识电磁场运动规律 的道路是漫长而曲折的。早在两千多年前,人类就有了关于磁石和摩擦起电的知识, 我们祖先发明的指南针,为人类文明作出了不朽的贡献。但是,将电磁场现象系统 地上升为理论的研究并加以应用则是 18 世纪中叶,特别是 19 世纪中叶以后的事情。 17711773 年,卡文迪许(Henry Cavendish;1731_1810)进行了著名的静电实 验,库伦(Chareles-Augustinde Coulomb,17361806)于 1785 年建
2、立了关于 静电和静磁的平方反比定律,这标志着电学和磁学定量研究的开始。此后,人们对 电和磁现象进行了大量的观察和实验研究,其中,最著名的是伽伐尼 (L.Calvani,17371798)在解剖青蛙是注意到青蛙腿的痉挛现象,从而发现电 流;伏特(Alessandro Volt,17451827)用电化学方法产生了稳定的电流(即 伏特电池) 。随后,欧姆(georg Simon Ohm,17891854)和基尔霍夫(Gustav Robert Kirchhoff,18241887)分别建立了后来用他们名字命名的电路定律。 在很长的时期内,人们把电和磁看成是相互独立的现象,并不知道他们之间有什么 联
3、系。直到 1820 年奥斯特(Hans Christian Oersted,17771851)发现电流可 使磁针偏转,级电流可产生磁力,才开始了将点与磁联系起来的研究。1825 年,安 培(Andrc Maric Ampere,17751836)提出了确定两电流之间相互作用及载流 导体能受到磁力作用的定律,即安培定律,毕奥(Biot)和萨法尔(Savart)确定 了磁场和电流之间的定量关系,即毕奥-萨法尔定律。到此为止,人们一直都还是在 静止的或恒定的状态下研究电磁现象。电磁学研究的一个重大发展史,1831 年法拉 第(Michael Faraday,17911867)发现电磁感应现象,这是人
4、们第一次对随时 间变化的电磁场进行研究。电磁感应定律一方面推动了电磁在工程中的应用,另一 方面它是电磁理论的一块基石。1864 年,麦克斯韦(James Clerk Maxwell,18311879)在总结前人发现的实验定律的基础上,进行了创造性的理 西南科技大学本科生毕业论文 2 论研究工作,建立了后来以他名字命名的麦克斯韦方程组,从而创立了完整的电磁 理论体系1。 麦克斯韦电磁理论体系的建立,是 19 世纪人类文明史上的重大事件,它标志着 人类文明迈进了电的时代。紧随其后,1866 年,西门子(William Siemens,18231883)发明了发电机;1876 年,贝尔(Alexan
5、der Graham Bell,18471922)发明了电话;1879 年,爱迪生(Thomas Alva Edison,18471931)成功地做了电磁波实验,对麦克斯韦方程组的正确性提供 两块实验依据。赫兹实验后不到 6 年,意大利工程师马可尼(G.Marconi,1874 1937)和俄国的波波夫(A.S.Popov,18591906)分别实现了无线电远距离传播, 并很快投入实际应用。其后,无线电报(1894 年) 、无线电广播(1906 年) 、导航 (1911 年) 、微波通信(1933 年) 、雷达(1935 年)以及近代的无线电遥测、遥控、 卫星通信、光纤通信等如雨后春笋般涌现出
6、来。 一个多世纪以来,由电磁学发展起来的现代电子技术已应用在电力工程、电子 工程、通信工程、计算机技术等多学科领域。电磁理论已广泛应用于国防、工业、 农业、医疗、卫生等领域,并深入到人们的日常生活中。今天,电磁场问题的研究 及其成果的广泛运用,已成为人类社会现代化的标志之一。 1.2 电磁场边值问题计算方法的重要性 在一个电磁系统中,电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要 的。例如,在系统中,用一种绝缘材料是导体相互隔离是,就要保证电场强度低于 绝缘介质的击穿强度。在磁力开关中,所要求的磁场强弱,应能产生足够大的力来 驱动开关。在发射系统中进行天线的有效设计时,关于天线周围介质中电
7、磁场分布 的知识显然有实质性的意义。 为了分析电磁场,我们可以从问题所涉及的数学公式入手。依据电磁系统的特 性,拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态(低频)运行条件下的 情况。但是,在高频应用中,则必须在时域或频域中求解波动方程,以做到准确地 西南科技大学本科生毕业论文 3 预测电场和磁场,在任何情况下,满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解,因 此,计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。 电磁场理论早期主要运用在军事领域,其发展和无线电通信、雷达的发展史分 不开的。现在,电磁场理论的应用已经遍及得学、生命科学和医学、材料科学和信 息科学等几乎所有的科学技术领域。计算电磁场
8、研究的内容涉及面很广,与电磁场 工程、电磁场理论互相联系,互相依赖。对电磁场工程而言,计算电磁场要解决的 是实际电磁场工程中越来越复杂的建模与仿真、优化设计等问题;而电磁场工程也 为之提供实验结果,以验证其计算结果的正确性。对电磁场理论而言,计算电磁场 可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法、手段和计算结果;而电磁场 理论这为计算电磁场问题提供了电磁规律、数学方程,进而验证其计算结果,计算 电磁场对电磁场理论发展的影响不仅仅是提供一个计算工具而已2,而是使整个电 磁场理论发生了革命性的变化。毫不夸张地说,近二三十年来,电磁场理论的发展, 无一不是与计算电磁场的发展相联系的。目前,计算电
9、磁场已成为对复杂体系的电 磁规律、电磁性质进行研究的重要手段,为电磁场理论的深入研究开辟了新的途径, 并极大地推动了电磁场工程的发展。 西南科技大学本科生毕业论文 4 第 2 章 电磁场边值问题计算方法 常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类,其每一类又包含若干种方法, 第一类是解析法;第二类是数值法。对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规 则的(如矩形、圆形等)问题,可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析 解(精确解) ,但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。 在这种情况下,一般借助于数值法求解电磁场的数值解。 2.1解析法 电磁学是一门古老而又不断发展的
10、学科。经典的数学分析方法是近百年来电磁 学学科发展中的一个极为重要的方法。解析法包括建立和求解偏微分方程或积分方 程。严格求解偏微分方程的经典方法是分离变量法 ,即在可分离变量的坐标系中求 解 Maxwell 方程组或其退化形式 ,最后得到解析解。严格的求解积分方程的方法主 要是变换数学法. 例例 1 一无限长直接地金属 槽 ,其三壁电势为零 ,顶盖与三壁绝缘且电势为 V0sinx,其中 V0=100 V ,截面长宽分别为 a = 10 cm 和 b = 5 cm ,如图 2-1 所示. a 求金属槽内的电势分布。 图 2-1 金属槽截面 西南科技大学本科生毕业论文 5 分析分析 金属槽无限长
11、 , 故槽内电势与坐标 z无关. 由于槽内各点上电荷密 度 = 0 , 槽内电势满足二维直角坐标系中的拉普拉斯方程及其边界条件 : x a Vyx yx yx yx yx by y ax x sin, 0, 0, 0, 0 0 0 0 2 2 2 2 (2.1.1 ) (2.1.2 ) (2.1.3 ) (2.1.4 ) (2.1.5 ) 应用分离变量法 , 得到满足方 程( 1 ) 和边界条件 式(2) 式(4) 的解的形式为 (2.1.6) a yn sh a xn Ayx n n 1 sin, 带入边界条件(5)得 V0sinx= (2.1.7) a a bn sh a xn A n n
12、 1 sin 比较系数得: , (2.1.8) a b sh V A 0 1 10nAn 槽内电势的解析解为 1010 sin 2 100 sin, 0 y sh x sh a y sh a x a b sh V yx 解析法的优点是: 可将解答表示为已知函数的显式,从而计算出精确的数值结果; 可以作为近似解和数值解的检验标准; 西南科技大学本科生毕业论文 6 在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值结 果所起的作用。 但解析法也存在严重缺点,主要是,它仅能解决很少量的问题。事实上,只有 在为数不多的坐标系中才能分离变量,而用积分方程法是往往求不出结果,致使分 析过程
13、既困难又复杂。例如,对标量赫姆霍兹方程,只有在 11 种坐标系下才能用分 离变量法求解。如果边界面不是在 11 种坐标系中 1 个坐标系的 1 个坐标面或该坐标 系的几个坐标面的组合,或者边界条件不是第一类边界条件(该标量在边界上的值 为已知)或不是第二类边界条件(该标量在边界上沿法线方向的空间导数为已知) , 则分立变量就不能用。又如,只有当积分方程中的核是某些形式时,才能用变换数 学法来严格求解。 2.2数值法 数值法用高性能的计算机就可直接以数值的、程序的形式代替解析形式来描述 电磁场的问题。在数值法中,通常以差分代替微分,用有限求和代替积分,这样, 就将问题化为求解差分方程或代数方程问
14、题。这方面的例子如有限差分法(FDM) 。 数值法与解析法比较,在许多方面具有独特的优点。 普适性强,用户拥有的弹性大。一个特定问题的边界条件、电气结构、激励等 特性可以不编入基本程序,而由用户输入,更好的情况是通过图形界面输入。 用户不必具备高度专业化的电磁场理论、数学及数值技术方面的知识就能用提 供的程序解决实际问题。 数值法的出现,使电磁场边值问题的分析研究从解析的经典方法进入到离散系 统的数值分析方法,从而使许多解析法很难解决的复杂电磁场边值问题,有可能通 过电磁场的计算机辅助分析获得很高精度的离散解(数值解) ,同时可极大地促进各 种电磁场数值计算方法的发展。 数值法的缺点是数据输入
15、量大、计算量大、受硬件条件的限制。原则上,数值 法可以求解具有任何复杂几何形状、复杂材料的电磁场工程问题。但是,在工程应 西南科技大学本科生毕业论文 7 用中,由于受计算机存储容量、执行时间以及解的数值误差等方面的限制,数值法 在解大型复杂的电磁场工程问题时也难以完成任务。 可以说数值法的发展大致分为两个阶段。起发展初期,是研究“解决得了”的 问题,也就是研究该数值法能否应用于各个学科分支领域;而其发展后期,是研究 “解决得好”的阶段,即探讨解决工程实际问题的各种改进方法、手段及相应的计 算技术。近期的数值法研究中的大量工作都是为了实现这一目标。有的研究在小机 器上计算大问题;有的研究减少内存
16、占用,加快计算速度;还有的研究在一定程度 上减少自由度和计算工作量;而最新的发展动向是研究高效的并行数值算法。 西南科技大学本科生毕业论文 8 第 3 章有限差分法 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限 个离散点构成的网格来代替, 这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连 续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微 商用差商来近似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之 以代数方程组,即有限差分方程组 ,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近 似解3。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上
17、的近似解。 有限差分法的主要内容包括4:如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分; 如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计 算过程的可行和计算结果的正确,还需从理论上分析差分方程组的性态,包括解的 唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的 各种差分格式,为了有实用意义,一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程,这 就是相容性要求。另外,一个差分格式是否有用,最终要看差分方程的精确解能否 任意逼近微分方程的解,这就是收敛性的概念。此外,还有一个重要的概念必须考 虑,即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的,在计算第 n1
18、 层的近似值时要用到第 n 层的近似值,直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差, 必然影响到后面各层的值,如果误差的影响越来越大,以致差分格式的精确解的面 貌完全被掩盖,这种格式是不稳定的,相反如果误差的传播是可以控制的,就认为 格式是稳定的。只有在这种情形,差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近 差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下 3 种方法。最常用的方法是数 值微分法,比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法,因为在实际问题中得 西南科技大学本科生毕业论文 9 出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理,一般可以通过积分形式来表示。此 外还可以用待定系数法构造一些精度较高的
19、差分格式。 3.1 差分运算的基本概念 有限差分法是指用差分来近似取代微分,从而将微分方程离散成为差分方程组。 于是求解边值问题即转换成为求解矩阵方程5。 对单元函数 而言,取变量的一个增量=,则函数的增量可以表 xf x xh xf 示为 =- (3.1.1) xfhxf xf 称为函数的差分或一阶差分。函数增量还经常表示为 xf =- (3.1.2) xf 2 h xf 2 h xf 称为函数的中心差分或一阶中心差分。 xf 函数一阶差分与自变量增量 h 的比值/称为一阶差商。在一阶差分 xf xfh 运算中,它常用来近似函数的一阶导数。 xf dxxdf/ 函数的二阶差商定义为 xf 2
20、 2 x xf h hxfhhxf (3.1.3) 2 h xfhxf 它常被用来近似函数的二阶导数。 xf 22 /dxxfd 我们还可以采用类似方法给出二阶以上差分的定义,并用它们来近似函数二阶 以上的导数。但由于二阶以上的倒数在本次研究中没有用到,因此就不在赘述了。 西南科技大学本科生毕业论文 10 3.2 有限差分法应用 有限差分法基本思想是将场域离散为许多小网格,应用差分原理,将求解连续 函数的泊松方程的问题转换为求解网格节点上的差分方程组的问题67。 现在,以静电场边值问题 F yx 2 2 2 2 )(sf L (3.2.1 ) (3.2.2 ) 为例,说明有限差分法的应用。f(
21、s)为边界点 s 的点函数,二位场域 D 和边界 L 示于图 3.2-1 中。 0 y x 0 2 4 13 D L h h 图 3.2-1 有限差分的网格分割 通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为,节点上的h4 , 3 , 2 , 1 , 0 电位分别用和表示。 3210 , 4 设函数在处可微,则沿方向在处的泰勒公式展开为 0 xx 0 x (3.2.3) n K nK K K 0 00 )( ! 将和分别代入式(3.2.3),得 1 3 西南科技大学本科生毕业论文 11 (3.2.4) 0 3 3 3 0 2 2 2 001 )( ! 3 1 )( ! 2 1 )( x
22、h x h x h (3.2.5) 0 3 3 3 0 2 2 2 003 )( ! 3 1 )( ! 2 1 )( x h x h x h 由(3.2.4)-(3.2.5)得 (3.2.6) hx xx 2 )( 31 0 (3.2.4)+(3.2.5)得 (3.2.7) 2 301 xx 2 2 h 2 x 0 )( 同理 (3.2.8) hy yy 2 )( 31 0 (3.2.9) 2 301 2 2 2 )( 0 hy yy 将式(3.2.7)、 (3.2.9)代入式(3.2.1) ,得到泊松方程的五点差分格式 )( 4 1 4 2 43210 2 04321 Fh Fh 当场域中得
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