第7讲微分方程.ppt
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1、数学建模与数学实验,微 分 方 程,实验目的,实验内容,2、学会用Matlab求微分方程的数值解.,1、学会用Matlab求简单微分方程的解析解.,1、求简单微分方程的解析解.,4、实验作业.,2、求微分方程的数值解.,3、 数学建模实例,求微分方程的数值解,(一)常微分方程数值解的定义,(二)建立数值解法的一些途径,(三)用Matlab软件求常微分方程的数值解,返 回,1、目标跟踪问题一:导弹追踪问题,2、目标跟踪问题二:慢跑者与狗,3、地中海鲨鱼问题,返 回,数学建模实例,微分方程的解析解,To Matlab(ff1),结 果:u = tg(t-c),解 输入命令: y=dsolve(D2
2、y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),结 果 为 : y =3e-2xsin(5x),To Matlab(ff2),解 输入命令 : x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t); x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z),结 果 为:x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3
3、)e2t,To Matlab(ff3),返 回,微分方程的数值解,(一)常微分方程数值解的定义,在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题,一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值,或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。,因此,研究常微分方程的数值解法是十分必要的。,返 回,(二)建立数值解法的一些途径,1、用差商代替导数,若步长h较小,则有,故有公式:,此即欧拉法。,2、使用数值积分,对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分,并利用梯形公式,有:,实际应用时,与欧拉公式结合使用:,此即改进的欧拉法。,故有公式:,3、使用泰勒公
4、式,以此方法为基础,有龙格-库塔法、线性多步法等方法。,4、数值公式的精度,当一个数值公式的截断误差可表示为O(hk+1)时(k为正整数,h为步长),称它是一个k阶公式。,k越大,则数值公式的精度越高。,欧拉法是一阶公式,改进的欧拉法是二阶公式。 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。,返 回,(三)用Matlab软件求常微分方程的数值解,t,x=solver(f,ts,x0,options),1、在解n个未知函数的方程组时,x0和x均为n维向量,m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.,2、使用Matlab软件求数值解时,高阶微分方程必须等价地变
5、换成一阶微分方程组.,注意:,解: 令 y1=x,y2=y1,1、建立m-文件vdp1000.m如下: function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2、取t0=0,tf=3000,输入命令: T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-),3、结果如图,To Matlab(ff4),解 1、建立m-文件rigid.m如下: function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y
6、(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);,2、取t0=0,tf=12,输入命令: T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+),3、结果如图,To Matlab(ff5),图中,y1的图形为实线,y2的图形为“*”线,y3的图形为“+”线.,返 回,导弹追踪问题,设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹,导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶,导弹的速度是5v0,求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶
7、多远时,导弹将它击中?,解法一(解析法),由(1),(2)消去t整理得模型:,To Matlab(chase1),轨迹图见程序chase1,解法二(数值解),1.建立m-文件eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x);,2. 取x0=0,xf=0.9999,建立主程序ff6.m如下: x0=0,xf=0.9999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b.) hold on y=0:0.01:2; plot(1,y,b*),结论
8、: 导弹大致在(1,0.2)处击中乙舰,To Matlab(ff6),令y1=y,y2=y1,将方程(3)化为一阶微分方程组。,解法三(建立参数方程求数值解),设时刻t乙舰的坐标为(X(t),Y(t),导弹的坐标为(x(t),y(t).,3因乙舰以速度v0沿直线x=1运动,设v0=1,则w=5,X=1,Y=t,4. 解导弹运动轨迹的参数方程,建立m-文件eq2.m如下: function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2
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