二节正项级数.ppt
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1、第二节 正项级数,一、正项级数收敛的充分必要条件 二、正项级数的比较判别法 三、正项级数的比值判别法,一 、正项级数收敛的充分必要条件,正项级数 ,由于 ,因此,可知数列 为单调增加数列.,定理9.1 正项级数 收敛的充分必要条件为:它的前n项部分和所构成的数列 有上界.,用反证法可知:,若 的前n项部分和所构成的数列 无界, 则 必定发散,且 .,若 发散,则其前n项和所构成的数列 必定无界.,二、 正项级数的比较判别法,设有两个正项级数 与 . 若 ,则有,如果 发散,则 必定发散.因为若后者收敛,由前述可知 应收敛而引起矛盾.,如果 收敛,可知 有上界,从而知 有界.再由正项级数收敛的充
2、分必要条件可知 收敛.,定理9.2(比较判别法) 设两个正项级数 与 如果满足,那么,(1) 若 收敛,则 收敛.,(2) 若 发散,则 发散.,例1 判定级数 的收敛.,解,因而 为正项级数.,若取 ,则 为几何级数, 公比 ,,因此 为收敛级数. 由比较判别法可知 收敛.,当x0时,有sin xx,因此,例2 判定p-级数的收敛性.,其中p0为常数.,若0p1,注意 ,由于正项级数 发散,,由比较判别法可知 发散.,后者级数为几何级数,公比 ,,因此,利用比较判别法可得知, 当p1时, 收敛.,它的各项不大于下列级数中的对应项.,综合上述有,常用的作为比较对象的级数有,几何级数(a0),调
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