概率统计1new.ppt
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1、第一章 随机事件的概率,第一节 随机事件,第二节 随机事件的概率,第三节 条件概率,第四节 独立性 主观概率,第一节 随机事件,一、随机试验与样本空间,二、随机事件,三、事件间的关系与运算,一、随机试验与样本空间,1试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果,2进行试验之前不能确定哪一个结果会出现,其中,可以在相同的条件下重复进行的随机试验称为可重复的随机试验,否则称为不可重复的随机试验,随机试验的所有可能结果组成的集合,样本空间,T,H,0次,2次,在某一批产品中任选一件,检验其是否合格,记录某大超市一天内进入的顾客人数,在一大批电视机中任意抽取一台,测试其寿命,观察某地明天的
2、天气是雨天还是非雨天,二、随机事件,满足这一条件的样本点组成 的一个子集,称 为随机试验 的一个随机事件,基本事件 :,随机试验 有两个基本事件 和,随机试验 有三个基本事件 、 和,样本空间的两个特殊子集,它包含了试验的所有可能的结果,所以在每次试验中它总是发生,称为必然事件 .,它不包含任何样本点,因此在每次试验中都不发生,称之为不可能事件 .,由一个样本点组成的单点集,三、事件间的关系与运算,研究原因:,希望通过对简单事件的了解掌握较复杂的事件,研究规则:,事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定,随机试验的E样本空间W,子事件 和事件 积事件 差事件 互斥(互不相容) 对立
3、事件(逆事件) 运算规律,子事件,和事件,积事件,差事件,互斥,时发生,对立事件,运算规律,4.对偶律,注:这些运算规律可以推广到任意多个事件上去,1.交换律,2.结合律,3.分配律,例1 设 , , 是随机事件,则事件, 与 发生, 不发生可以表示成, , , 至少有两个发生可以表示成, , , 恰好发生两个可以表示成, , , 中有不多于一个事件发生可以表示成,例2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1,2,3组成,每个水源都足以供应城市的用水,设事件,于是,“城市断水”这一事件可表示为,“城市能正常供水”这一事件可表示为,第二节 随机事件的概率,一、频率与概率 二、概率的性质
4、三、等可能概型(古典概型) 四、几何概型,一、频率与概率,概率,定义1,抛硬币实验,试验次数,出现正面的次数,出现正面的频率,这表明频率具有一定的随机波动性,对于可重复进行的试验,当试验次数 逐渐增大时,事件 的频率 都逐渐稳定于某个常数 ,呈现出 “稳定性”,因此,可以用频率来描述概率,定义概率为频率的稳定值,我们称这一定义为概率的统计定义,这种“稳定性”也就是通常所说的统计规律性,频率具有如下性质,1非负性,2规范性,3有限可加性,则,设E是随机试验,W是它的样本空间,对E的每一个事件A,将其对应于一个实数,记为P(A ),称为事件A的概率,如果集合函数P()满足下列条件:,概率的公理化定
5、义,1非负性,2规范性,3可列可加性,二、概率的性质,性质1,性质2(有限可加性),性质3,性质4,性质5,性质6(加法公式),性质5,证:,证明 性质5,证明 性质6,性质6(加法公式),证明:,因为,且,故由性质2和性质3得:,性质6可以推广到多个事件的情形,例如,解,而,所以,于是,证,第三节 古典概型,1试验的样本空间只含有有限个元素,即,2试验中每个基本事件发生的可能性相同,即,具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。由于它是概率论发展初期的主要研究对象,所以也称之为古典概型,则有,例3 将一枚硬币抛二次,(2),解(1),先给出一个记号,它是组合数的推广,规定,例4 设袋中有只4
6、白球和4只黑球,现从袋中无放回地依次摸出4只球(即第一次取一球不放回袋中,第二次再从剩余的球中再取一球,此种抽取方式称为无放回抽样).试求 (1)取到的两只球都是白球的概率; (2)取到的两只球颜色相同的概率; (3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率,解 记,(1),(3),类似于(1),可求得,(2),例5 将 个球随机地放入 个盒子中去,盒子的容量不限,试求 (1)每个盒子至多有一只球的概率; (2) 个盒子中各有一球的概率,解 将 个球放入 个盒子中去,每种放法是一个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一个球都可以放入 个盒子中的任一个盒子,故共有 种不同的方法,个盒子可以有 种不同
7、的选法。对选定的 个 盒子,每个盒子各有一个球的放法有 种。由乘 法原理,共有 种放法,因此所求概率为,例6 (女士品茶)一位常饮奶茶的女士称:她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶冲制而成.做了10次测试,结果是她都正确地辨别出来了.问该女士的说法是否可信?,10次试验一共有 个等可能的结果,解,假设该女士的说法不可信,即纯粹是靠运气猜对的。,在此假设下,每次试验的两个可能结果为:,奶茶 或 茶奶,且它们是等可能的,因此是一个古典概型问题。,若记,则 只包含了 个样本点中一个样本点,故,由实际推断原理,该女士的说法可信,实际推断原理 概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不会发
8、生,四、几何概型,古典概型是关于试验的结果为有限个,且每个结果出现的可能性相同的概率模型.一个直接的推广是:保留等可能性,而允许试验的所有可能结果为直线上的一线段、平面上的一区域或空间中的一立体等具有无限多个结果的情形,称具有这种性质的试验模型为几何概型,若在一个面积为 的区域 中等可能地任意投点,这 里“等可能”的含义是:点落入 中任何区域 的可能性的大小与区域 的面积 成正比,而与其位置和形状无关,由,知,从而,几何概率,记事件,则有,第一节 条件概率,一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式与贝叶斯公式,一、条件概率,例1 一个家庭中有两个小孩,已知其中一个是女孩,问另一个也是女孩的概
9、率是多少? (假定生男生女是等可能的),由题意,样本空间为,(1),表示事件“至少有一个是女孩”,,表示事件“两个都是女孩”,则有,由于事件已经发生,所以这时试验的所有可能结果只有三种,而事件包含的基本事件只占其中的一种, 所以有,解,在这个例子中,若不知道事件已经发生的信息,那么事件发生的概率为,其原因在于事件 的发生改变了样本空间,使它由原来的 缩减为 ,而 是在新的样本空间 中由古典概率的计算公式而得到的,这里,(2),关系式(2)不仅对上述特例成立,对一般的古典概型和几何概型问题,也可以证明它是成立的,上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用如果回到原来的样本空间W 中考虑,显然有,
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