第8讲.ppt
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1、第八讲 留数,1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系,5.1 孤立奇点,1. 定义,例如,-z=0为孤立奇点,-z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的奇点,-z=1为孤立奇点,这说明奇点未 必是孤立的。,2. 分类,以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数,根 据展开式的不同情况,将孤立点进行分类。考察:,特点:,没有负幂次项,特点:,只有有限多个负幂次项,特点:,有无穷多个负幂次项,定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点,在z0 的去心邻域内, 若f (z)的洛朗级数,没有负幂次项,称z=z0为可去奇点;,只有有限多个负幂次项,称z=z0为m 级极点
2、;,有无穷多个负幂次项,称z=z0为本性奇点。,3. 性质,若z0为f (z)的可去奇点,若z0为f (z)的m (m 1) 级极点,例如:,z=1为f (z)的一个三级极点, z=i为f (z)的一级极点。,若z0为f (z)的本性奇点,总结:孤立奇点类型判断方法:,根据洛朗级数中 负幂项个数判断: 不含 负幂项 - 为可去奇点; 只含有限个 负幂项 - 极点; 含无穷个 负幂项 - 本性奇点,根据函数在奇点处极限取值判断: 存在且有限 - 为可去奇点; - 极点; 不存在且不为无穷大 - 本性奇点,4. 零点与极点的关系,定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成,例如:,定理,事实
3、上,,必要性得证!,充分性略!,例如,定理:,证明,“” 若z0为f (z)的m 级极点,5. 函数在无穷远点的性态,推广到扩充复平面,讨论无穷远点的性态:,定义 如果函数f (z)在无穷远点 的去心 邻域 内解析,那么称 为f (z)的 孤立奇点。,研究方法:,作变换: ,并且规定,该变换把扩充z平面上 的去心邻域 映射成扩充t平面上原 点的去心邻域 。,则:,这样,把在去心邻域 内对函数 f (z)的研究转化为 在去心邻域 内对函数 的研究。,函数 在去心邻域 是解析的,所以t =0是 的孤立奇点。,规定:如果t =0是 的可去奇点,m级极点或本性奇点 那么, 是f (z)的可去奇点,m级
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