概率统计韩旭里谢永钦版2章课件.ppt
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1、概率论与数理统计,(韩旭里_谢永钦版),第二章 随机变量,第一节 随机变量及其分布函数,第二节 离散型随机变量及其分布,第三节 连续型随机变量及其分布,第四节 随机变量函数的分布,第一节 随机变量及其分布函数,定义1:,上一页,下一页,返回,证明:,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,由概率的 连续性得:,上一页,下一页,返回,例1: 口袋里装有3个白球2个红球,从中任取三个球, 求取出的三个球中的白球数的分布函数,解: 设X表示取出的3个球中的白球数。X的可能取值为1,2,3。而且由古典概率可算得,上一页,下一页,返回,于是,X的分布函数为:,上一页,下一页,返回,例2: 考虑如下试
2、验:在区间0,1上任取一点,记录它的坐标X。那么X是一随机变量,根据试验条件可以认为X取到0,1上任一点的可能性相同。求X的分布函数。,当x0时,解 : 由几何概率的计算不难求出X的分布函数,所以:,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,第二节 离散型随机变量及其分布,分布律常用表格形式表示如下:,X x1 x2 xk,pk p1 p2 pk,如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无限多个,则称这种随机变量为离散型随机变量。,上一页,下一页,返回,分布律的两条基本性质:,上一页,下一页,返回,()确定常数a的值;()求的分布函数,因此,解:()由分布律的性质知, ,p,a,上一页,下一
3、页,返回,(2)由分布函数计算公式易得的分布函数为:,上一页,下一页,返回,两点分布,当规定x1=0,x2=1时两点分布称为(01)分布。 简记为X(0-1)分布。,上一页,下一页,返回,若离散型随机变量X的分布律为,二项分布,其中0p1, 称X服从参数为n,p的二项分布,记为Xb(n,p)。,上一页,下一页,返回,当n=1时,二项分布化为: PX=k=pk(1-p)1-k k=0,1,在n重贝努里试验中,假设A在每次试验中出现的概率为p,若以X表示n次试验中A出现的次数。那么由二项概率公式得X的分布律为:,即X服从二项分布。,(01)分布可用b(1,p)表示。,即为(01)分布,上一页,下一
4、页,返回,例: 某交互式计算机有10个终端,这些终端被各个单位独立使用,使用率均为0.7,求同时使用的终端不超过半数的概率。,在涉及二项分布的概率计算时,直接计算很困难时,采用了近似计算。下面给出近似公式:,解 : 设X表示10个终端中同时使用的终端数,则Xb(10,0.7)。所求的概率为 :,上一页,下一页,返回,泊松定理 设 0是一常数,n是任意整数,设npn=,则对任意一固定的非负整数k,有,证明,上一页,下一页,返回,定理的条件npn=,意味着n很大时候pn必定很小。因此当n很大,p很小时有近似公式,其中=np。,在实际计算中,当 时用 (=np) 作为 的近似值效果很好。 而当 时效
5、果更佳。,的值有表可查。,上一页,下一页,返回,例5: 有同类设备300台,各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为0.01,若一台设备发生故障需要一人去处理,问至少需要配备多少工人,才能保证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01?,查表可知,满足上式最小的N是8。 至少需配备8个工人才能满足要求。,解: 设X表示同一时刻发生故障的设备台数,依题意知 X(300,0.01),若配备N位维修人员,所需解决的问题是确定最小的N,使得:PXN0.01 (=np=3),上一页,下一页,返回,泊松(Poisson)分布,上式给出的概率满足:pk=PX=k 0, 且,上一页,下一页,返回,
6、例6: 放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布。罗瑟福和盖克观察与分析了放射性物质放出的粒子个数的情况。他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒),整理与分析如表所示:,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,返回,设想把体积为V的放射性物质分割为n份相同体积 V 的小块,并假定:,在1秒内放出两个或两个以上粒子的概率为0,分析推导放射的粒子数为何服从泊松分布,考虑单位时间1秒内放射出的粒子数X。,(2)各小块是否放出粒子,是相互独立的。,上一页,下一页,返回,在这两条假定下,1秒内这一放射性物质放出k个粒子这一事件,可近似看作该物质的n个独立的小块中,恰有k小块放出粒子。
7、,其中PX=k是随n而变的,它是一个近似式。,放出k个粒子的概率:,把物质无限细分,得到 PX=k 的精确式,即,由泊松定理知,其中,上一页,下一页,返回,第三节 连续随机变量及其分布,(4)若x为f(x)的连续点,则有,概率密度f(x)具有以下性质:,上一页,下一页,返回,由性质(2)知: 介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1(见图1)。,由性质(3)知: X落在区间(x1,x2)的概率等于区间(x1,x2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积(见图2)。,由性质(4)知: 若已知连续型随机变量X的分布函数F(x)求导得概率密度f(x)。,上一页,下一页,返回,(1)若X为具有概率
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