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1、二项式定理题型荟萃,二项式定理,二项式展开的通项,复习回顾:,第 项,性质复习:,性质1:,性质2:,性质3:,性质4:,当n是偶数时,中间的一项 取得最大值 ;,当n是奇数时,中间的项 和 相等, 且同时取得最大值。,题型一 利用 的二项展开式解题,解法1:,例1 求 的展开式,题型一 利用 的二项展开式解题,例1 求 的展开式,解法2:,化简后再展开,解:,所以 为奇数 故选(A),思考:能用特殊值法吗?,A,熟记二项式定理,是解答与二项式定理有关 问题的前提条件,对比较复杂的二项式,有时 先化简再展开更便于计算.,例题点评,题型二利用通项求符合要求的项或项的系数,例2 求 展开式中的有理
2、项,解:,令,原式的有理项为:,解: 设第 项为所求,的系数为,分析:第 k+1 项的二项式系数 - 第 k+1 项的系数-具体数值的积。,解:,求二项展开式的某一项,或者求满足某种条 件的项,或者求某种性质的项,如含有x 项 的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项 式的通项求解. 注意(1)二项式系数与系数的区别. (2) 表示第 项.,3,例题点评,题型3 二项式定理的逆用,例3 计算并求值,解(1):将原式变形,题型3 二项式定理的逆用,例3 计算并求值,解:(2)原式,例题点评 逆向应用公式和变形应用公式是高中数学 的难点,也是重点,只有熟练掌握公式的正 用,才能掌握逆向应用和变式应
3、用,题型4 求多项式的展开式中特定的项(系数),解:仔细观察所给已知条件可直接求得 的系 数是,解法2,运用等比数列求和公式得,在 的展开式中,含有 项的系数为,所以 的系数为-20,练习:求 展开式中 的系数。,解:可逐项求得 的系数,的展开式通项为,当 时,系数为,的展开式通项为,当 时,系数为,所以 展开式中的系数为,的展开式通项为,当 时,系数为-4,求复杂的代数式的展开式中某项(某项的系数),可以逐项分析求解,常常对所给代数式进行化简,可以减小计算量,例题点评,题型5 求乘积二项式展开式中特定的项(特 定项的系数),例题5:求 的展开式中 项 的系数.,解,的通项是,的通项是,的通项
4、是,由题意知,解得,所以 的系数为:,例题点评 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两 个通项之积比较方便运算,(题型6)求展开式中各项系数和,解:设,展开式各项系数和为,1,例题点评 求展开式中各项系数和常用赋值法:令二项 式中的字母为1,上式是恒等式,所以当且仅当x=1时, (2-1)n=, =(2-1)n=1,例6. 的展开式的各项系数和为_,题型7:求奇数(次)项偶数(次)项系数的和,(1),(2),题型7:求奇数(次)项偶数(次)项系数的和,所以,(3),例题点评,求二项展开式系数和,常常得用赋值法,设 二项式中的字母为1或-1,得到一个或几个等 式,再根据结果求值,题型8 三项式转
5、化为二项式,解:三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式,再利用二项式定理逐项分析常数项得,=1107,_,解:,原式化为,其通项公式为,240,题型9 求展开式中系数最大(小)的项,解:,设 项是系数最大的项,则,二项式系数最大的项为第11项,即,所以它们的比是,练习:在 的展开式中,系数绝对值最大 的项,解:设系数绝对值最大的项是第r+1项,则,所以当 时,系数绝对值最大的项为,练习求 的展开式中数值最大的项,解:设第 项是是数值最大的项,展开式中数值最大的项是,解决系数最大问题,通常设第 项是系数最 大的项,则有,由此确定r的取值,例题点评,题型10 整除或余数问题,例10,解:,前面各
6、项均能被100整除.只有 不能被100整除,整除性问题,余数问题,主要根据二项式 定理的特点,进行添项或减项,凑成能整 除的结构,展开后观察前几项或后几项,再 分析整除性或余数。这是解此类问题的最 常用技巧。余数要为正整数,例题点评,题型11 :证明恒等式,析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为 由此分析求解,两式相加,例题点评,利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种 最常见的方法,证明等式常用下面的等式,例12:证明:,证明,通项,所以,题型12 证明不等式,例题点评,利用二项式定理证明不等式,将展开式 进行合理放缩,题型13 近似计算,例13.某公司的股票今天的指数为2,以后每天的指
7、 数都比上一天的指数增加0.2%,则100天后这 公司的股票股票指数为_(精确到0.001),解:,依题意有2(1+0.2%),100,所以100天后这家公司的股票指数约为2.44,点评近似计算常常利用二项式定理估算前几项,巩固练习:,一、选择题,1(04福建)已知 展开式的常数项是1120, 其中实数 是常数,则展开式中各项系数的和 是( ),C,B,3 被4除所得的系数为( ) A0 B1 C2 D3,A,展开式中 的系数是_,2、 被22除所得的余数为 。,1,35,3 已知 展开式中的 系数是56,则实数 的值是_,或,二、填空题,1 求 展开式中含 一次幂的项。,45x,3 在 的展开式中,求:,(1) 二项式系数最大的项; (2) 系数绝对值最大的项; (3) 系数最大的项,三、计算题,总结:,二项式的应用:,题型一:利用 的展开式解题,题型二:二项式系数与项的系数的问题,题型三:求展开式的某一项的问题,题型四:增减性与最值问题,题型五:赋值法求多项式的系数和,题型六:近似计算与整除的问题,
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