概率论与数理统计总复习.ppt
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1、1,概率论与数理统计总复习,一、内容提要 二、典型例题,2,随机试验,可能结果,基本事件Ai,不含任何,Ai任何组合,事件A,不可能,必然,完备事件组Ai,等概完备事件组,贝努利试验,独立试验 概型,只有两个 可能结果,n次重复,古典概型,B由其中m个事件组成公式,(一)概念之间的关系,一、随机变量与概率,3,1、运算关系,包含: A 则 B,相等: A = B,和:至少有一个发 生 AUB,积:同时发生 AB,A、B不相容,A、B 对立 记为,差: AB,B =SA,(二)事件的关系,4,除与一般代数式运算相同的法则以外,注意,1)对偶律,2)其他,3)独立性,事件的独立性是由概率定义的;,
2、n个事件的独立性要求,个等式成立。,(三) 解题方法,1、一般概率,1) 利用两种概型,10 古典,20 n重贝努利概型,2) 利用事件间的运算,2、运算法则,5,化为事件的和,利用对立事件,A、B相互独立,分解到完备组中: 全概公式,利用随机变量及其分布计算。,一般情况,化为事件的积,一般情况,是完备组,,6,2) 用乘法公式,1) 在缩减完备组中计算,方法同 1。,3) 用贝叶斯公式,2、条件概率,7,一实数值X(i),(一)随机变量的定义,对于随机试验E的每一个可能结果i,的变量,,则称实数变量X(i)为一个随机变量,,简记为X。,注意:,1、X 是定义在随机试验结果的集合i 上,按试验
3、的不同结果而取不同的值.,取值是随机的.,2、在一定的试验下,,二、随机变量及其分布,都唯一地对应着,因此X的,可以依据我们所关心的结果的,数值特征选取 X 所代表的具体意义。,3、X 的引入使我们便于研究随机试验的全貌,,并使用分析的工具。,8,1、离散型随机变量,随机变量 X 的取值可以一一列举(有限或无限),定义,分布律(分布列) 表示法,称X 为离散型随机变量。,(二)随机变量的分布及性质,公式法,列表法,性质,9,定义,对于随机变量X,若存在非负函数,,使对任意实数,则称X为连续型随机变量,,的概率密度.,都有,其图形:,(2) 归一性,(1) 非负性,密度函数的性质,2、连续性随机
4、变量,10,3、分布函数,为X的分布函数. 记作,设 X是一个随机变量,称,定义,分布函数的性质,1、单调不减性:,3、右连续性:对任意实数 ,,2、归一 性:,若 x1x2, 则 F (x1) F (x2);,对任意实数x, 0 F(x) 1,且,11,1)分布函数,的值表示了X 落在,2)离散型: 若,分布函数的几点说明,是一个普通的函数,,内的概率。,由于,是X 取,的诸值,的概率之和,故又称,为累积概率函数.,图形特点:,是一条有跳跃的上升,阶梯形曲线。,12,3) X为连续性随机变量,在,13,3)把Y的分布用表(离散型)或Y的密度(连续性),1、问题:若,之间的事件等价关系。,关系
5、和分布函数关系。,是随机变量,,表述出来。,其中,已知X 的分布,求,的分布。,2、基本方法,4、随机变量函数的分布,是 x的函数。,研究,1)由,2)由,之间的事件的关系再求,之间的分布,3、具体讨论,14,则,当,若X的分布律,当,则,1) 离散型,推广得:,15,及有关函数表述出来。,求,其为等价的事件,将,用,利用,求出Y的密度函数。,2) 连续性,设 X是一个取值于区间,具有概率密度,的连续型随机变量,,16,性质:,(一)二维随机变量(X,Y) 的分布函数,定义,对于任意实数,二元函数,称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,的联合分布函数。,或称为X和Y,三、二维随机变量及其分布,
6、2.,且,是变量,的不减函数。,17,(二)离散型,的所有可能取值为,设,则,和Y的联合分布列。,称为二维随机变量,的分布列,,或随机变量X,(非负性),(归一性),18,二维离散型随机变量的联合分布列,关于X的边缘分布,19,(X,Y )的边缘分布,设,的分布列为 :,分别记,20,(三)连续型,总有,的联合概率密度。,其具有以下性质:,定义 设二维随机变量,的分布函数为,,对任意实数,为,的概率密度,或称为随机变量,和,对于非负可积的函数,(非负性),(归一性),21,的关于X 和Y 的边缘概率密度。,定义 设,则,分别是,边缘概率密度,22,均有,(四)两个随机变量的独立性,若二维随机变
7、量,对任意的实数,成立,则称随机变量,与,是相互独立的。,若记,且,成立,,可见X,Y 相互独立的定义与两个事件相互,独立的定义是一致的。,判断X,Y 相互独立的办法:,23,其的概率密度为,的边缘概率密度分别为,24,四、随机变量的数字特征,(一)数学期望 E X,定义,X为离散型,X为连续型,若,X为离散型,X为连续型,X为离散型其分布列为,X为连续型其密度函数为,25,若 (X,Y ) 有联合密度,26,期望的性质,其中 C 为常数。,2. 对于任何常数,及 b.,3. 若,相互独立, 则,27,定义,计算公式,(二)方差,X为离散型其分布列为,X为连续型其密度函数为,X为离散型,X为连
8、续型,28,其中 k 为常数。,3. 对于任何常数,及 b.,相互独立, 则,方差的性质,29,均匀分布,泊松分布,二项分布,0-1分布,参数范围,方差,均值,概率分布,名称,(三)常用的六个分布,指数分布,30,标准正态分布,参数范围,方差,均值,概率分布,名称,(三)常用的六个分布,正态分布,任意,31,称为标准化的随机变量,有,2、正态分布随机变量函数的标准化.,表可查。,注意,32,COV ( X,Y )=E(XE X ) (YE Y ),若随机变量 X, Y 为离散型.,若随机变量 X, Y 为连续型.,协方差,相关系数,COV( X,Y )E( XY ) EXEY,一般计算公式,3
9、3,COV( X,Y )E(XY) EXEY,可见,,存在的必要条件为,COV( X,Y ) 0 .,即,定义: 若,可见,若X与Y 独立,,称X与Y不相关。,D(X士Y) = D X + DY士2COV( X,Y ),D(X士Y) = D X + DY,即,34,1. COV( X,X ) E( X- EX )2 = DX ;,3. COV( aX, bY ) ab COV( X,Y ), a,b是常数;,4. COV( X1+X2 ,Y ) COV( X1,Y )+ COV( X2,Y ).,二、协方差与相关系数的性质,2. COV( X,Y ) COV( Y , X ) ;,COV (
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