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1、第三章 初等代数运算命令与例题,北京交通大学,3.1多项式运算,多项式是我们最熟悉的简单表达式,n 次一元多项式的一般形式为: Pn(x) =a 0 +a1x+ a2x 2 +a nx n 在Mathematica 中, 有关表达式的任何运算都可以应用到多项式中,特别,多项式的加减乘除四则运算只要用Mathematica 中的加减乘除号来连接两个多项式即可, 如: 数学形式 Mathematica 输入形式 多项式相加 (3+x 2) + (1-2x5 ) (3+x2)+(1-2*x5) 多项式相减 (3+x 2) - (1-2x5 ) (3+x2)-(1-2*x5) 多项式相乘 (3+x 2
2、)(1-2x5 ) (3+x2)*(1-2*x5) 多项式相除 (3+x 2) (1-2x5 ) (3+x2)/(1-2*x5),下面列举其中的常用函数及功能:,Mathematica 函数形式 功能 1) Expand多项式 把多项式按升幂展开 2) Factor多项式 对多项式进行因式分解 3) Collect多项式,x 把多项式按x的同次幂合并形式展开 4) Simplify多项式 把多项式写成项数最小的形式 5) Exponent多项式, x 取出多项式中x的最高幂数 6) Coefficient多项式,form 取出多项式中form的系数 7) Part多项式, n 取出多项式的第n
3、项 8) Length多项式 给出多项式的项数 9) PolynomialQuotientp,q, x 计算pq的商,这里p,q是关于x的多项式 10) PolynomialRemainderp,q, x 计算pq的余式,这里p,q是关于x的多项式 11) PolynomialGCDp,q, 求多项式p,q,的最大公因子 12) PolynomialGCDp,q, 求多项式p,q,的最小公倍数,例1:展开多项式(2+3x)4,并取出它的第3项。 解: Mathematica 命令为: In1:= p=Expand(2+3x)4 Out1=16+96x +216x 2 +216x3 +81x4
4、In2:= Partp, 3 Out2= 216 x2,例2: 设多项式q=(1+2x - y)2,做 (1)展开多项式q (2)按y的同次幂合并形式展开多项式q (3)取出多项式q中y和xy的系数 解: Mathematica 命令为: In3:= q=Expand(1+2x - y)2 Out3= 1 + 4 x + 4 x 2 - 2 y - 4 x y + y2 In4:= Collect(1+2x-y)2, y Out4= 1 + 4 x + 4 x 2 + (-2 - 4 x) y + y2 In5:= Coefficientq, y Out5= -2 - 4 x In6:= Co
5、efficientq, x*y Out6= - 4,例3: 对多项式120 - 46x - 19 x 2 + 4 x 3 +x 4进行因式分解。 解: Mathematica 命令为: In7:= Factor120 - 46x - 19 x2+ 4 x3 +x4 Out7= (-3 + x) (-2 + x) (4 + x) (5 + x) 例4: 设多项式p=1 - 4x - 19 x2 + 4 x3,q=1 - 3x , 1)计算pq的商; 2) 计算pq的余式 解: Mathematica 命令为: In8:= p=1-4x 19x2+4x3; q=1-3x; In9:= Polyno
6、mialQuotientp, q, x Out9= 89/27+ 53 x/9 - 4 x2/ 3 In10:= PolynomialRemainderp, q, x Out10= -62/27,例5: 设多项式p=120 - 46x - 19 x 2 + 4 x 3 +x 4,q=20x+9x2+x 3 1)求多项式p,q的最大公因子; 2) 求多项式p,q的最小公倍数 解: Mathematica 命令为: In11:= p=120 - 46x - 19 x2+ 4 x3 +x4; q=20x+9x2+x3; In12:= PolynomialGCDp, q Out12= 20+ 9 x
7、+ x2 In13:= PolynomialLCMp, q Out13= 120 x - 46 x2 - 19 x3 + 4 x4 + x5,3.2有理函数运算,两个多项式相除构成有理函数,它的一般形式为: 在Mathematica 中提供了有理函数运算的一些函数,常用的函数有: Mathematica 函数形式 功能 1) Togetherexpr 对expr进行通分 2) Apartexpr 把expr写成简单分式之和 3) Cancelexpr 对expr进行约分 4) Simplifyexpr 对expr进行化简 5) Numerator有理函数 取出有理函数的分子 6) Denomi
8、nator有理函数 取出有理函数的分母,例6:设有理函数之和为: 1)对r(t)通分; 2) 取出r(t)的分子; 3) 取出r(t)的分母 解: Mathematica 命令为: In14:= r=6/t-3/(1+t)- (3t+3)/(1+t2); In15:= s=Togetherr In16:= Numerators Out16= 6 In17:= Denominators Out17= t (1 + t) (1 + t )2,例7: 设有理函数为 1) 把q(x)写成简单分式之和; 2) 对qx进行约分; 3) 对q(x)进行化简: 解: Mathematica 命令为: In18
9、:= q=(1-x2)/(9+21x+16x2+4x3); In19:= Apartr In20:= Cancelq In21:= Simplifyq,3.3连续求和与连续求积运算,在数学中,有时需要计算n个有规律的数相加或相乘,这就是数学中由符号表示求和运算和由符号表示的求积运算,即: 上式中 ai 称为通项.Mathematica 提供了这种快速求和和求积运算命令。 3.3.1 连续求和命令 连续求和命令的一般形式为 Sum 通项, 求和范围 或 NSum 通项, 求和范围 ,命令形式1: Sumf(i) , i ,imin,imax,h 功能:计算和 f(imin) +f(imin +h
10、)+ f(imin +2h)+f(imin +nh) imax h imin + nh imax , h0 例如:计算和12 +3 2 + +19 2 , 由连加的规律, 知通项为i2 Mathematica命令: In22: = Sum i2 , i , 1, 19 , 2 Out22= 1330,命令形式2: Sum f(i) , I,imin,imax 功能: 计算和 f(imin) +f(imin +1)+f(imin+2)+f(imax) 例如:计算 Mathematica命令: In23: = s=Sum1/(k2-1), k, 3 , 20 Out23=103/280,命令形式3
11、: Sum f(i , j),i,imin,imax,j, jmin,jmax 功能:计算二重和式 例如 :计算 Mathematica 命令: In24: =Sum(i-j)3, i, 1 , 20, j, 1 , 10 Out24= 149500,例8: 计算: 解: Mathematica 命令为: In25: = s1=SumSink, k, 1 , 5 Out25= Sin1 + Sin2 + Sin3 + Sin4 + Sin5 In26: = s1=NSumSink, k, 1 , 5 Out26= 0.176162 In27: = s2=NSum1/k2 , k, 1,Infi
12、nity Out27= 1.64493,例9:设 用Sum命令生成s1(x), s3(x), s6(x),并在同一个坐标系中画出s1(x), s3(x), s6(x)在-1,1上的图形 解: Mathematica 命令为: In28:= s1=Sum(k+1)*xk, k, 0, 1 Out28=1+2x In29:= s3=Sum(k+1)*xk, k, 0, 3 Out29=1+2x+3x 2+4x3 In30:= s6=Sum(k+1)*xk, k, 0, 6 Out30=1+2x+3x2+4x3+5x 4+6x5+7x 6 In31:= Plots1,s3,s6,x,-1,1,3.3
13、.2 连续求积命令,求积命令的一般形式为 Product 通项, 求积范围 或 NProduct 通项, 求积范围 式中的范围与求和命令Sum相同,具体形式有 命令形式1: Product f(i) , i ,imin,imax,h 功能: 计算和 f(imin)f(imin +h) f(imin +2h) f(imin +nh) imax h imin + nh imax , h0 例如:计算和1232 19 2 , 由连乘的规律, 知通项为i2 Mathematica命令: In32: = Product i2 , i , 1, 19 , 2 Out32= 4286701616503556
14、25,命令形式2: Product f(i) , i ,imin,imax 功能:计算和 f(imin) f(imin +1) f(imin +2) f(imax) 命令形式3: Product f(i , j),i,imin,imax, j ,jmin,jmax 功能:计算二重和式,例: 计算 Mathematica命令: In33: = s=Product1/(k2-1), k, 2 , 15 Out33= 1/912006534786239692800000 例: 计算 解: Mathematica 命令为: In34: = s=ProductCosk, k, 1 , 4 Out34=
15、Cos1 Cos2 Cos3 Cos4 In35: = s=NProductCosk, k, 1 ,4 Out35= -0.145498,3.4方程求根,在数学中, 函数等于零的式子就称为方程。 f(x)= 0 (1) 就称为一元函数方程. 类似的有多元函数方程组: 1(x1 ,x2 , ,x n) = 0 2(x1 ,x2 , ,x n) = 0 . (2) n(x1 ,x2 , ,x n) = 0,3.4.1 求多项式方程的根 n次多项式方程的一般形式为: a0 +a1x+ a2x2 +anx n = 0 式中a0 ,a1, a2,an为常数。 求多项式方程的根的一般形式为 Solve 方
16、程或方程组, 变量或变量表 或 NSolve 方程或方程组, 变量或变量表 具体形式有: 命令形式1: Solveeqn, x 功能:求多项式方程eqn的所有根,当多项式方程的次数n4时,给出eqn所有根的准确形式, 当n4时,不一定能求出所有的根, 此时,命令输出形式为 ToRulesRootseqn, x ,命令形式2: Solveeqn1, eqn2, , eqnk, x1, x2, xk 功能:求多项式方程组eqn1, eqn2, , eqnk的所有根, 当其中每个多项式方程的次数n4时, 给出所有根的准确形式: ToRulesRootseqn1, eqn2, , eqnk, x1,
17、x2, xk 命令形式3: NSolveeqn, x 功能:求多项式方程eqn的所有根的近似形式。 命令形式4: NSolveeqn1, eqn2, , eqnk, x1, x2, xk 功能:求多项式方程组eqn1, eqn2, , eqnk所有根的近似形式。,例: 求方程 x3 -4x 2 +9x - 10 = 0 的所有根 解: Mathematica 命令为: In36: = Solvex3-4x2+9x-10=0 , x Out36= x - 1 - 2 I, x - 1 + 2 I, x - 2 所以,所求全部根为 x1=1-2I,x2=1+2I , x3=2, I为虚数单位。 例
18、: 求方程x 2 -ax - 4b=0的所有根,a,b 为常数。 解: Mathematica 命令为: In37: = Solvex2-a*x-4*b=0 , x a - Sqrta2 +16b a + Sqrta2 + 6b Out37= x - -, x - - 2 2 所求全部根为 a - Sqrta2 +16b a + Sqrta2 + 6b x1= -, x2 = - 2 2,例: 求方程组 x+3y=0 x2+y2=1 的所有根。 解: Mathematica 命令为: In38: = Solvex+3y=0,x2+y2=1, x, y -3 1 3 1 Out38= x - -
19、, y - - , x - -, y - - (-) Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10 所求全部根为 -3 1 3 1 x1= - , y1= -, x2= - , y2= - (-) Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10 Sqrt10,例: 求方程 x6 -x2 +2x - 3 = 0 的所有根。 解: Mathematica 命令为: In39: = Solvex6-x2+2x-3=0 , x Out39= ToRulesRoots2 x x2 + x6 = = 3, x In40: = NSolvex6-x2+2x-3=0 , x Out40= x - -1.4
20、0825, x - -0.465869 - 1.19413 I, x - -0.465869 + 1.19413 I, x - 0.608047 - 0.885411 I, x - 0.608047 + 0.885411 I, x - 1.12389 得所求全部6个近似根为 x1=-1.40825, x2=-0.465869- 1.19413 I x3=-0.465869 + 1.19413 I, x4= 0.608047 - 0.885411 I, x5= 0.608047 + 0.885411 I, x6= 1.12389 , I为虚数单位。,例: 求方程组 a1+a2=1 x1 a1+x
21、2a2=1/4 x12a1+x22 a2=1/9 x13a1+x23 a2=1/16 的所有根,这里x1 ,x2,a1,a2 是变量。 解: Mathematica 命令为: In41:=Solvea1+a2=1,x1*a1+x2*a2=1/4,x12*a1+x22*a2=1/9, x13*a1+x23*a2=1/16, a1,a2,x1,x2 212 - 9 Sqrt106 212 + 9 Sqrt106 Out41= a1 - -, a2 - - , 424 424 15 - Sqrt106 180 + 12 Sqrt106 x2 - -, x1 - - , 42 504,In42: =
22、N% Out42=a1 - 0.281461, a2 - 0.718539, x2 - 0.112009, x1 - 0.602277, a1 - 0.718539, a2 - 0.281461, x2 - 0.602277, x1 - 0.112009 In43: = N%, 8 Out43= a1 - 0.28146068, a2 - 0.71853932, x2 - 0.11200881, x1 - 0.60227691, a1 - 0.71853932, a2 - 0.28146068, x2 - 0.60227691, x1 - 0.11200881,3.4.2 求超越方程的根 求超
23、越方程的根的一般形式为 FindRoot 方程或方程组, 变量或变量表, 初值 具体形式有 命令形式1: FindRooteqn, x, x0 功能:求方程eqn的在初值x0附近的一个近似根。 命令形式2: FindRooteqn1,eqn2, . , x, x0, y, y0, . 功能:求方程组eqn1, eqn2, 在初值(x0,y0,)附近的一个近似根。,例: 求方程组 x= y2 y=cos x 在(1,2)附近的根 解: Mathematica 命令为: In44: = FindRootx= y2, y=Cosx, x,1,y,2 Out44= x - 0.641714, y - 0.801071 所求的根为 x= 0.641714, y = 0.801071。,例:求方程x sin x = 1在0, 5内的所有根。 解: Mathematica 命令为: In45: =Plotx*Sinx - 1 , x, 0, 5 In46: = FindRootx*Sinx 1 =0, x, 1 (*方程在1附近的根) Out46= x - 1.11416 In47: = FindRootx*Sinx 1 =0, x, 3 (*方程在3附近的根) Out47= x - 2.7726 所求根为x1 = 1.11416 , x2= 2.7726。,第三章结束 谢谢!,
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