概率论与数理统计第二章.ppt
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1、,湖南商学院信息系 数学教研室,第二章 随机变量及其分布,第二章 随机变量及其分布,第一节 随机变量的定义 第二节 离散型随机变量 第三节 连续型随机变量 第四节 随机变量函数的分布,湖南商学院信息系 数学教研室,第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量的定义,一、随机变量概念的产生,在实际问题中,随机试验的结果可以用数量来表示,由此就产生了随机变量的概念.,1、有些试验结果本身与数值有关(本身就是一个数).,例如,掷一颗骰子面上出现的点数;,七月份郑州的最高温度;,每天从郑州下火车的人数;,昆虫的产卵数;,2、在有些试验中,试验结果看来与数值无关,但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.
2、也就是说,把试验结果数值化.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样,二者建立了一种对应关系.,这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.,e.,X(e),R,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗?,(1)它随试验结果的不同而取不同的值,因而在试验之前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值.,(2)由于试验结果的出现具有一定的概率,于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.,称这种定义在样本空间上的实值函数为,随,量,机,变,简记为 r.v.(random variable),而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等.,例
3、如,从某一学校随机选一学生,测量他的身高.,我们可以把可能的 身高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题.,如 P(X1.7)=? P(X1.5)=?,P(1.5X1.7)=?,有了随机变量,随机试验中的各种事件,就可以通过随机变量的关系式表达出来.,二、引入随机变量的意义,如:单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示,它是一个随机变量.,事件收到不少于1次呼叫 X 1,没有收到呼叫 X= 0,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.,事件及 事件概率,随机变量及其 取
4、值规律,四、随机变量的分类,通常分为两类:,如“取到次品的个数”, “收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,例如,“电视机的寿命”,实际中常遇到的“测量误差”等.,这两种类型的随机变量因为都是随机变量,自然有很多相同或相似之处;但因其取值方式不同,又有其各自的特点.,学习时请注意它们各自的特点和描述方法.,设X是一个离散型随机变量,它可能取的值是 x1, x2 , .,为了描述随机变量 X ,我们不仅需要知道随机变量X的取值,而且还应知道X取每个值的概率.,第二章 第二节 离散型随机变量,这样,我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.,从中任取3 个球,取到的白球数X
5、是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为,例1,且,其中 (k=1,2, ) 满足:,(2),用这两条性质判断 一个函数是否是 概率分布,一、离散型随机变量概率分布的定义,解: 依据概率分布的性质:,a0,从中解得,欲使上述函数为概率分布,应有,二、表示方法,(1)列表法:,(2)公式法,X,三、举例,例3. 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9,求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解: X可取0、1、2为值,P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01,P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18,P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81,且 P(X =0)
6、+ P(X =1)+ P(X =2)=1,常常表示为:,这就是X的概率分布.,例 4,如上图所示.电子线路中装有两个并联的继电器.假设这两个继电器是否接通具有随机性,且彼此独立.已知每个电器接通的概率为0.8,记X为线路中接通的继电器的个数. 求:(1)X的分布律. (2)线路接通的概率.,解:,(1).记Ai=第i个继电器接通,i=1,2. 两个继电器是否接通是相互独立的, A1和A2相互独立,另外P(A1)=P(A2)=0.8.下面求X的分布律. 首先:X可能取0,1,2,三个值. PX=0=P表示两个继电器都没接通,转下页,PX=1=P恰有一个继电器接通,PX=2=P两个继电器都接通,
7、X的分布律为,2) 是并联电路 P(线路接通) =P(只要一个继电器接通)=PX1 =PX=1+PX=2=0.32+0.64=0.96.,(二)常见的离散型随机变量的概率分布,(I) 两点分布,(,设E是一个只有两种可能结果的随机试验,用=1, 2表示其样本空间. P(1)=p , P(2)=1-p,来源,X()=,1, = 1 0, = 2,200件产品中,有196件是正品,4件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定,例 5,X()=,1, 取到合格品 0, 取到不合格品,则 PX=1=196/200=0.98, PX=0=4/200=0.02 故 X服从参数为0.98的两点分布 . 即 X
8、B(1,0.98).,例6 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p,令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.,(II),我们来求X的概率分布.,X的概率分布是:,男,女,X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数, 生男孩的概率为 p.,X可取值0,1,2,3,4.,例7 将一枚均匀骰子抛掷3次, 令X 表示3次中出现“4”点的次数,X的概率分布是:,不难求得,,掷骰子:“掷出4点”,“未掷出4点”,一般地,设在一次试验中我们只考虑两个 互逆的结果:A或 , 或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.,新生儿:“是男孩”,“是女孩”,抽验产品:“是正品”,“是次品”,再设我们重
9、复地进行n次独立试验 ( “重复”是指这次试验中各次试验条件相同 ),这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验,简称贝努里试验或贝努里概型.,每次试验成功的概率都是p,失败的概率 都是q=1-p.,用X表示n重贝努里试验中事件A(成功)出现的次数,则,称r.v.X服从参数为n和p的二项分布,记作,XB(n,p),注: 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求,但有下述要求:,(1)每次试验条件相同;,二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.,(2)每次试验只考虑两个互逆结果A或 ,,且P(A)=p , ;,(3)各次试验相互独立.,例8 某类灯泡使用时数在2000小时以上视
10、为正品.已知有一大批这类的灯泡,其次品率是0.2.随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20只灯泡中恰有3只是次品的概率.,解: 设X为20只灯泡中次品的个数 ,则.,X B (20, 0.2),,(见新版书上P34,旧版书P36表),下面我们研究二项分布B(n,p)和两点分布B(1,p)之间的一个重要关系.,说明,设试验E只有两个结果:A和 . 记p=P(A),则P( )= 1- p ,0p1,我们把试验E在相同条件下,相互独立地进行n次,且记X为n次独立试验中结果A出现的次数.把描述第i次实验的随机变量记作Xi 则 Xi B(1,p), 且X1,X2 , ,Xn也是相互独立的(随机变量相互独立
11、的严格定义第三章再讲).则有,X= X1+X2+Xn,一、泊松分布的定义及图形特点,设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , , 且概率分布为:,其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的 泊松分布,记作XP( ).,(III) 泊松分布,易见,例9,某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次数X服从参数=3的泊松分布. 求:(1)一分钟内恰好收到3次寻的概率. (2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率.,解:,(1)PX=3=p(3;3)=(33/3!)e-30.2240 (2) P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!
12、)e-3 0.7169,解:,例 10,某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为0.8的泊松分布. 求:该城市一天内发生3次以上火灾的概率.,PX3=1- PX3 =1-PX=0+ PX=1+PX=2 =1-(0.8 0/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)e-0.8 0.0474,请看演示,泊松分布,历史上,泊松分布是作为二项分布的近似,于1837年由法国数学家泊松引入的 .,二、二项分布与泊松分布,命题,对于二项分布B(n,p),当n充分大,p又很小时,则对任意固定的非负整数k,有近似公式,由泊松定理,n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.,我们把在每次试验中出现概
13、率很小的事件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等,解:,例11,某出租汽车公司共有出租车400辆,设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02, 求:一天内没有出租车出现故障的概率.,将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验E.因为每辆车是否出现故障与其它车无关,于是观察400辆出租车是否出现故障就是做400次伯努利试验,设X表示一天内出现故障的出租车数,则: X B(400, 0.02). 令=np=4000.02=8 于是: P一天内没有出租车出现故障=PX=0 =b(0;400,0.02) (80/0!)e-8 =0.0003355,对于离散型随机变量,如果知道了它的概
14、率分布,也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义上,我们说,这一讲,我们介绍了离散型随机变量及其概率分布.,离散型随机变量由它的概率分布唯一确定.,两点分布、二项分布、泊松分布 及其关系,湖南商学院信息系 数学教研室,第二章 第三节 连续型随机变量,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.,下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.,第二章 第三节 连续型随机变量,请看演示:,怎样画直方图,直方图与概率密度,(I)直方图,(一) 概率密度函
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