第三章多维随机变量及其分布第节.ppt
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1、第三章 多维随机变量及其分布,第一节 二维随机变量,在有些随机现象中,每次试验的结果不能只 用一个随机变量来描述,而要同时用几个随机变 量来描述。如对于钢的成分的研究,需要同时指 出它的含碳量、含硫量、含磷量等等,要研究它 们之间的联系,就应当同时考虑若干个随机变量 (即多维随机变量)及其取值规律-多维分布。,本章着重介绍二维的情况,至于二维以上的 情况可由二维类似推得。,一般地,设E是一个随机试验,它的样本 空间是S,再设X和Y是定义在S上两个随机变 量。 由它们构成的一个二维向量(X,Y)叫做二 维随机向量或二维随机变量。,二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有 关, 而且还依赖于这两
2、个随机变量的相互关系。 因此, 逐个地研究X和Y的性质是不够的, 还 需将(X,Y)作为一个整体来进行研究。,和一维的情况类似,我们也是借助于 “分 布函数” 来研究二维随机变量。,定义:,设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x, y, 二元函数,称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或随机变量X和 Y的联合分布函数。,x,y,(x,y),x,y,(x2, y2),(x1, y1),分布函数 F(x, y) 具有以下的基本性质:,(1) F(x, y) 是变量 x, y 的单调不减函数,,即对于任意固定的 y, 当 x2x1 时, 有,对于任意固定的 x, 当 y2y1 时, 有,(2),对
3、于任意固定的 y,有,对于任意固定的 x,有,(3) F(x, y) 关于x 右连续,关于y 也右连续,,如二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有 限对或无限可列对,则称(X,Y)是二维离散型随 机变量。,设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的 值为,则称上述一系列等式为二维离散型随机变 量(X,Y)的概率分布律, 或随机变量X和Y的联 合概率分布律。,显然有:,随机变量X和Y的联合概率分布律也可用表格表示,X,Y,例1:设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取 一个值,另一个随机变量Y在1 X中等可能地取一 整数值。试求(X, Y)的分布律。,解:,(X, Y)的所有可能的取值
4、为: X 等可能地取1,2,3,4中的一个,Y 等可能地取1 到 X 之间的整数值。,即可写出对应的概率分布表。,离散型随机变量X和Y的联合分布函数F(x, y)具有形式:,与一维连续型随机变量类似,对二维随机变量 的分布函数 F(x, y), 如果存在非负的函数 f (x, y), 使 得对任意的实数x, y,有,则称 (X, Y) 是连续型二维随机变量,而 f (x, y) 称为 二维随机变量(X, Y) 的概率密度或随机变量X和Y的 联合概率密度。,联合概率密度 f (x, y)具有以下的性质:,(4) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域,则点 (X, Y) 落 在G 内的概率,例2:
5、设连续型二维随机变量(X, Y)的概率密度为,解:,例2:设连续型二维随机变量(X, Y)的概率密度为,解:,x,y,y=x,G,G1,课 外 习 题,第 70 页,15,17,第二节 边缘分布,同理可得,对于离散型随机变量(X, Y),记,分别称上述两式为二维离散型随机变量 (X, Y)关于X和Y的边缘分布律。,对于二维连续型随机变量(X, Y),设其概率密度为 f (x, y)。,知X是一连续型随机变量,具有概率密度函数为,同理, Y也是一连续型随机变量, 其概率密度函数为,它们分别被称为二维连续型随机变量(X, Y)关 于X和Y的边缘概率密度函数。,例1:设二维离散型随机变量(X,Y)的
6、概率分布如下: 求关于 X 和关于Y 的边缘分布律。,X,Y,例2:设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为:,求关于 X 和关于 Y 的边缘分布密度。,解:,1,y = x,例2:设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为:,求关于 X 和关于 Y 的边缘分布密度。,解:,1,y = x,例3:设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为:,则可求得,由此可见,二维正态分布的两个边缘分布都是 一维正态分布,并且都不依赖参数 , 亦即对于给 定的 不同的 对于不同的二维正态分 布,但它们的边缘分布却都是一样的。,这一事实表明,由联合分布可确定边缘分布, 但反之不然。,课 外 习 题,第 70
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- 第三 多维 随机变量 及其 分布
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