二阶常系数齐次线方程的标准形式教学课件.ppt
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1、二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,10.5 二阶常系数线性微分方程,10.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1. 当,时, 有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,( r 为待定常数 ),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,2. 当,时, 特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 则得,因此原方程的通解为,3. 当,时, 特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解
2、的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,例. 求解初值问题,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点:如何求特解?,方法:待定系数法.,10.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程及其解法,设非齐次方程特解为,代入原方程,整理得,类型1. 型
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