二阶微分方程的.ppt
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1、二阶微分方程的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题课 (二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第十二章,一、两类二阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2); 8,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示,P327 题2 求以,为通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P327 题3 求下列微分方程的通
2、解,提示: (6) 令,则方程变为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若 (7) 中非齐次项改为,提示:,原方程通解为,特解设法有何变化 ?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P327 题4(2) 求解,提示: 令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时正负号如何确定?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P327 题8 设函数,在 r 0,内满足拉普拉斯方程,二阶可导, 且,试将方程化为以 r 为自变,量的常微分方程 , 并求 f (r) .,提示:,利用对称性,即
3、,( 欧拉方程 ),原方程可化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解初值问题:,则原方程化为,通解:,利用初始条件得特解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特征根 :,例1. 求微分方程,提示:,故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解.,设特解 :,代入方程定 A, B, 得,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解:,定解问题的解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考: 设,提示: 对积分换元 ,则有,解初值问题:,答案:,机动
4、目录 上页 下页 返回 结束,的解.,例3.,设函数,内具有连续二阶导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程,变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;,(2) 求变换后的微分方程满足初始条件,数, 且,解:,上式两端对 x 求导, 得:,(1) 由反函数的导数公式知,(03考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入原微分方程得,(2) 方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,题 目录 上页 下页 返回 结束,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,二、微分方程的应用,1 . 建立数学模型 列微分方程问题,建立微分方程
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